Question

19．如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，F(xiàn)是BC延長線上一點，∠ACB=∠DCF，AC⊥BD，垂足為E．
（1）試說明：△ABE∽△CDE；
（2）若AB=6，AE=2CE，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性質(zhì)，只要證明CD∥AB即可．
（2）首先求出AE、EC，根據(jù)勾股定理求出BE，由AB∥CD，得$\frac{ED}{BE}$=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，求出DE即可解決問題．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠DCF，
∴∠DCF=∠ABC，
∴CD∥AB，
∴∠A=∠ECD，∵∠AEB=∠CED，
∴△ABE∽△CDE．

（2）解：∵AB=AB=6，AE=2EC，
∴AE=4，EC=2，
在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AB∥CD，
∴$\frac{ED}{BE}$=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\sqrt{5}$，
∴BD=BE+DE=3$\sqrt{5}$．

點評 本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練運用這些知識解決問題是解題的關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．