Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線m：y=kx過(guò)原點(diǎn)，直線n：y=$\frac{1}{2}$x+4與y軸交于點(diǎn)A，與直線m交于點(diǎn)B（8，8），x軸上一點(diǎn)P（t，0）從原點(diǎn)出發(fā)沿x軸向右運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作直線PM⊥x軸，分別交直線m，n與點(diǎn)M，N，連接ON．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)0≤t≤8時(shí)，用含t的代數(shù)式表示△OMN的面積S；
（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△OMN的面積S等于12嗎？如果能，請(qǐng)求出t的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）當(dāng)t為何值時(shí)，以MN為直徑的圓與y軸相切？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（3）分類討論：當(dāng)0≤t≤8時(shí)，當(dāng)t＞8時(shí)，根據(jù)三角形的面積，可得關(guān)于t的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（4）分類討論：當(dāng)0≤t≤8時(shí)，當(dāng)t＞8時(shí)，根據(jù)相切，可得OP與MN的關(guān)系，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）將B點(diǎn)（8，8）代入y=kx，得
k=$\frac{y}{x}$=1；
（2）當(dāng)x=t時(shí)，y=$\frac{1}{2}$t+4，即N（t，$\frac{1}{2}$t+4）；y=t，即M（t，t）．
NM=$\frac{1}{2}$t+4-t=4-$\frac{1}{2}$t，
S_△OMN=$\frac{1}{2}$MN•OP=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{t}{2}$）•t=2t-$\frac{1}{4}$t²；
（3）當(dāng)0≤t≤8時(shí)，S_△OMN=2t-$\frac{1}{4}$t²=12，
化簡(jiǎn)，得
t²-8t+48=0，
△=b²-4ac=64-4×48=-128，
方程無(wú)解；
當(dāng)t＞8時(shí)，S_△OMN=$\frac{1}{4}$t²-2t=12，
解得t=12，t=-4（不符合題意舍），
綜上所述：t=12時(shí)，△OMN的面積S等于12；
（4）以MN為直徑的圓與y軸相切，得
2OP=MN．
當(dāng)0≤t≤8時(shí)，2t=4-$\frac{1}{2}$t，
解得t=$\frac{8}{5}$，
即t=$\frac{8}{5}$時(shí)，以MN為直徑的圓與y軸相切；
當(dāng)t＞8時(shí)，2t=$\frac{1}{2}$t-4，
解得t=-$\frac{8}{3}$（不符合題意舍），
綜上所述：當(dāng)t=$\frac{8}{5}$時(shí)，以MN為直徑的圓與y軸相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積公式，直線與圓相切的關(guān)系，分類討論是階梯關(guān)鍵，以防遺漏．