Question

3．已知：點(diǎn)D為正方形ABCD和正方形DEFG的公共頂點(diǎn)，記∠ADG=α，且0°≤α≤180°
（1）當(dāng)α=0°，即點(diǎn)A在DG邊上時(shí)，如圖，求證：AG=CE且S_△ABG=S_△CBE；
（2）當(dāng)α≠0°，且A，B，G三點(diǎn)不共線時(shí)，如圖2，問（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請加以證明；若不成立，請舉反例；
（3）已知當(dāng)α在變化過程中時(shí)，△ABG的面積存在最大值，若DA=2，DG=5．請你直接寫出△ABG面積的最大值，并畫出此時(shí)的示意圖．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)可知：AD=DC，GD=ED，從而可證明得AG=CE，然后根據(jù)AB=BC，AG=CE，根據(jù)三角形的面積公式可證得S_△ABG=S_△BCE；
（2）成立，如圖2，過點(diǎn)G作GM⊥BA，垂足為M，過點(diǎn)E作EN⊥BC，垂足為N，先證明△GDA≌△EDC得到AG=CE，然后再證明△AGM≌△CEN，得到MG=NE，由三角形的面積公式可知：S_△ABG=S_△BCE；
（3）邊長AB不變，所以當(dāng)BA邊上的高線最長時(shí)，三角形ABG的面積有最大值，故當(dāng)α=180°時(shí)，三角形ABG的面積最大．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD和四邊形DEFG均為正方形，
∴AD=DC，AB=BC，GD=ED，∠GAB=∠BCE=90°．
∴GD-AD=ED-DC，即AG=CE．
∵${S}_{△ABG}=\frac{1}{2}AB•AG$，${S}_{△BCE}=\frac{1}{2}BC•CE$，
∴S_△ABG=S_△BCE．
（2）成立．
如圖2，過點(diǎn)G作GM⊥BA，垂足為M，過點(diǎn)E作EN⊥BC，垂足為N．

∵∠GDA+∠ADE=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠GAD=∠EDC．
在△GDA和△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{GD=ED}\\{∠GDA=∠EDC}\\{DA=DC}\end{array}\right.$，
∴△GDA≌△EDC．
∴AG=CE，∠GAD=∠ECD．
∴∠GAD-∠MAD=∠ECD-∠DCB，即∠GAM=∠CEN．
在△AGM和△CEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAM=∠CEN}\\{∠GMA=∠CNE}\\{AG=CE}\end{array}\right.$，
∴△AGM≌△CEN．
∴MG=NE．
∴$\frac{1}{2}AB•MG=\frac{1}{2}BC•EN$，即S_△ABG=S_△BCE．
（3）如圖3所示；

當(dāng)α=180°時(shí)，△ABG的面積有最大值．
${S}_{△ABG}=\frac{1}{2}AB•AG=\frac{1}{2}×2×7$=7．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形面積的計(jì)算，證得△GDA≌△EDC，△AGM≌△CEN是解題的關(guān)鍵．