Question

3．如圖，點(diǎn)M是反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$在第一象限內(nèi)圖象上的點(diǎn)，作MB⊥x軸于B．過點(diǎn)M的第一條直線交y軸于點(diǎn)A₁，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)C₁，且A₁C₁=$\frac{1}{2}$A₁M，△A₁C₁B的面積記為S₁；過點(diǎn)M的第二條直線交y軸于點(diǎn)A₂，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)C₂，且A₂C₂=$\frac{1}{4}$A₂M，△A₂C₂B的面積記為S₂；過點(diǎn)M的第三條直線交y軸于點(diǎn)A₃，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)C₃，且A₃C₃=$\frac{1}{8}$A₃M，△A₃C₃B的面積記為S₃；以此類推…；S₁+S₂+S₃+…+S₆=$\frac{63}{64}$．

Answer 1

分析 根據(jù)點(diǎn)M是反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$在第一象限內(nèi)圖象上的點(diǎn)，即可得出S△A₁BM=$\frac{1}{2}$OB×MB=1，再利用C₁到BM的距離為A₁到BM的距離的一半，得出S₁=S△BMC₁=$\frac{1}{2}$S△A₁BM=$\frac{1}{2}$，同理即可得出S₂=S△A₂C₂B=$\frac{1}{4}$S△BMA₂=$\frac{1}{4}$，S₃=$\frac{1}{8}$，S₄=$\frac{1}{16}$…，進(jìn)而求出S₁+S₂+S₃+…+S₆的值即可．

解答 解：過點(diǎn)M作MD⊥y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)A₁作A₁E⊥BM于點(diǎn)E，過點(diǎn)C₁作C₁F⊥BM于點(diǎn)F，
∵點(diǎn)M是反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$在第一象限內(nèi)圖象上的點(diǎn)，
∴OB×BM=1，
∴S△A₁BM=$\frac{1}{2}$OB×MB=1，
∵A₁C₁=$\frac{1}{2}$A₁M，即C₁為A₁M中點(diǎn)，
∴C₁到BM的距離C₁F為A₁到BM的距離A₁E的一半，
∴S₁=S△BMC₁=$\frac{1}{2}$S△A₁BM=$\frac{1}{2}$，
∴S△BMA₂=$\frac{1}{2}$BM•A₂到BM距離=$\frac{1}{2}$×BM×BO=1，
∵A₂C₂=$\frac{1}{4}$A₂M，
∴C₂到BM的距離為A₂到BM的距離的$\frac{3}{4}$，
∴S₂=S△A2C2B=$\frac{1}{4}$S△BMA₂=$\frac{1}{4}$，
同理可得：S₃=$\frac{1}{8}$，S₄=$\frac{1}{16}$…
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{32}$+$\frac{1}{64}$=$\frac{63}{64}$．
故答案為：$\frac{63}{64}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及三角形面積關(guān)系，根據(jù)同底三角形對(duì)應(yīng)高的關(guān)系得出面積關(guān)系是解題關(guān)鍵．