Question

5．直線y=-x+4與坐標(biāo)軸交于B、C兩點(diǎn)，與直線y=x與相交于點(diǎn)A，點(diǎn)P為線段OA上一動點(diǎn)，過P作PQ垂直x軸于點(diǎn)Q，為PQ為邊在PQ右側(cè)作矩形PQMN，其中MQ=$\frac{3}{2}$PQ，K為AC的中點(diǎn)，求△PNK為等腰三角形時點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 由直線BC的解析式可得出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，結(jié)合直線OA的坐標(biāo)可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)K為AC的中點(diǎn)，可求出K的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，找出點(diǎn)N、Q的坐標(biāo)，分三種情況考慮△PNK為等腰三角形，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)找出關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，將其代入點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

解答 解：當(dāng)x=0時，y=4，
∴B（0，4）；
當(dāng)y=0時，-x+4=0，
解得：x=4，
∴C（4，0）．
聯(lián)立直線BC、OA成方程組，得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴A（2，2），
∵K為AC的中點(diǎn)，
∴K（3，1）．
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，m）（0＜m＜2），
則Q（m，0），M（$\frac{5}{2}$m，0），N（$\frac{5}{2}$m，m），
∴PN=$\frac{3}{2}$m，PK=$\sqrt{（3-m）^{2}+（1-m）^{2}}$，NK=$\sqrt{（3-\frac{5}{2}m）^{2}+（1-m）^{2}}$，
△PNK為等腰三角形分三種情況：
①當(dāng)PN=PK時，有$\frac{3}{2}$m=$\sqrt{（3-m）^{2}+（1-m）^{2}}$，
解得：m₁=2$\sqrt{74}$-16，m₂=-2$\sqrt{74}$-16（舍去），
此時Q（2$\sqrt{74}$-16，0）；
②當(dāng)PN=NK時，有$\frac{3}{2}$m=$\sqrt{（3-\frac{5}{2}m）^{2}+（1-m）^{2}}$，
解得：m₃=$\frac{17-\sqrt{89}}{10}$，m₄=$\frac{17+\sqrt{89}}{10}$（舍去），
此時Q（$\frac{17-\sqrt{89}}{10}$，0）；
③當(dāng)PK=NK，有$\sqrt{（3-m）^{2}+（1-m）^{2}}$=$\sqrt{（3-\frac{5}{2}m）^{2}+（1-m）^{2}}$，
解得：m₅=$\frac{12}{7}$，m₆=0（舍去），
此時Q（$\frac{12}{7}$，0）．
綜上可知：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2$\sqrt{74}$-16，0）、（$\frac{17-\sqrt{89}}{10}$，0）或（$\frac{12}{7}$，0）．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰三角形的性質(zhì)以及解無理方程，解題的關(guān)鍵是分三種情況考慮△PNK為等腰三角形．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，分類討論是關(guān)鍵．