Question

11．探索發(fā)現(xiàn)：
如圖1，已知直線l₁∥l₂，且l₃和l₁、l₂分別相交于A、B兩點(diǎn)，l₄和l₁、l₂分別交于C、D兩點(diǎn)，∠ACP記作∠1，∠BDP記作∠2，∠CPD記作∠3．點(diǎn)P在線段AB上．
（1）若∠1=20°，∠2=30°，請(qǐng)你求出∠3的度數(shù)．
歸納總結(jié)：
（2）請(qǐng)你根據(jù)上述問(wèn)題，請(qǐng)你找出圖1中∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫(xiě)出你的結(jié)論．
實(shí)踐應(yīng)用：
（3）應(yīng)用（2）中的結(jié)論解答下列問(wèn)題：如圖2，點(diǎn)A在B的北偏東 40°的方向上，在C的北偏西45°的方向上，請(qǐng)你根據(jù)上述結(jié)論直接寫(xiě)出∠BAC的度數(shù)．
拓展延伸：
（4）如果點(diǎn)P在直線l₃上且在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他條件不變，試探究∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系（點(diǎn)P和A、B兩點(diǎn)不重合），寫(xiě)出你的結(jié)論并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得出∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，再根據(jù)在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，即可得到∠3=∠1+∠2=50°；
（2）根據(jù)l₁∥l₂，可得∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，再根據(jù)在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，即可得到∠1+∠2=∠3；
（3）過(guò)A點(diǎn)作AF∥BD，根據(jù)AF∥BD∥CE，即可得到∠BAC=∠DBA+∠ACE=40°+45°=85°；
（4）分兩種情況進(jìn)行討論：P點(diǎn)在A的外側(cè)，P點(diǎn)在B的外側(cè)，分別根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵l₁∥l₂，
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，
在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，
∴∠3=∠1+∠2=50°；

（2）∠1+∠2=∠3，
理由：∵l₁∥l₂，
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，
在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，
∴∠1+∠2=∠3；

（3）如圖2，過(guò)A點(diǎn)作AF∥BD，則AF∥BD∥CE，
∴∠BAC=∠DBA+∠ACE=40°+45°=85°；

（4）當(dāng)P點(diǎn)在A的外側(cè)時(shí)，如圖3，過(guò)P作PF∥l₁，交l₄于F，
∴∠1=∠FPC，
∵l₁∥l₄，
∴PF∥l₂，
∴∠2=∠FPD，
∵∠CPD=∠FPD-∠FPC，
∴∠CPD=∠2-∠1，
當(dāng)P點(diǎn)在B的外側(cè)時(shí)，如圖4，過(guò)P作PG∥l₂，交l₄于G，
∴∠2=∠GPD，
∵l₁∥l₂，
∴PG∥l₁，
∴∠1=∠CPG，
∵∠CPD=∠CPG-∠GPD，
∴∠CPD=∠1-∠2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作平行線，構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角．