Question

13．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E是BC邊上一點，連結(jié)AE交BD于點F，G是AC上一點，B、G關(guān)于直線AE對稱．求證：四邊形BEGF為菱形，并請直接寫出圖中與線段AG相等的所有線段．

Answer 1

分析 首先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AE垂直平分BG，進(jìn)而利用垂直平分線的性質(zhì)得到AB=AG，BF=GF，BE=EG，然后結(jié)合正方形的性質(zhì)可以求出∠1，∠2，∠BEA，∠BFE的度數(shù)，進(jìn)而得到∠BEA=∠BFE，并利用等角對等邊可知BE=BF，從而得到BE=EG=BF=GF，利用菱形的判定方法可知四邊形BEGF是菱形，再結(jié)合正方形的性質(zhì)可知正方形的各邊與AG相等，可求得∠AFD=∠FAD=67.5°，進(jìn)而可知DF=AD，即可得出與AG相等的線段．

解答 證明：在正方形ABCD中，∠CBA=90°，∠CAB=45°，

連結(jié)BG，
∵B、G關(guān)于直線AE對稱，
∴AE垂直平分BG，
∴AB=AG，BF=GF，BE=EG，
∵AE⊥BG，
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}∠BAC$=22.5°，
∴∠BEA=90°-∠1=67.5°，
∴∠BFE=∠1+∠DBA=67.5°，
∴∠BEA=∠BFE，
∴BE=BF，
∴BE=EG=BF=GF，
∴四邊形BEGF為菱形，
與AG相等的線段有AB、BC、CD、AD、DF．

點評 本題綜合考查了菱形的判定，軸對稱的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，具有一定的綜合性，正確識圖并熟知各個性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．