Question

17．平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A、B的橫坐標(biāo)分別為a、a+2，二次函數(shù)y=-x²+（m-2）x+2m的圖象經(jīng)過點A、B，且a、m滿足2a-m=d（d為常數(shù)）．
（1）若一次函數(shù)y₁=kx+b的圖象經(jīng)過A、B兩點．
①當(dāng)a=1、d=-1時，求k的值；
②若y₁隨x的增大而減小，求d的取值范圍；
（2）當(dāng)d=-4且a≠-2、a≠-4時，判斷直線AB與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）點A、B的位置隨著a的變化而變化，設(shè)點A、B運動的路線與y軸分別相交于點C、D，線段CD的長度會發(fā)生變化嗎？如果不變，求出CD的長；如果變化，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①當(dāng)a=1、d=-1時，m=2a-d=3，于是得到拋物線的解析式，然后求得點A和點B的坐標(biāo)，最后將點A和點B的坐標(biāo)代入直線AB的解析式求得k的值即可；
②將x=a，x=a+2代入拋物線的解析式可求得點A和點B的縱坐標(biāo)，然后依據(jù)y₁隨著x的增大而減小，可得到-（a-m）（a+2）＞-（a+2-m）（a+4），結(jié)合已知條件2a-m=d，可求得d的取值范圍；
（2）由d=-4可得到m=2a+4，則拋物線的解析式為y=-x²+（2a+2）x+4a+8，然后將x=a、x=a+2代入拋物線的解析式可求得點A和點B的縱坐標(biāo)，最后依據(jù)點A和點B的縱坐標(biāo)可判斷出AB與x軸的位置關(guān)系；
（3）先求得點A和點B的坐標(biāo)，于是得到點A和點B運動的路線與字母a的函數(shù)關(guān)系式，則點C（0，-2d），D（0，-4d-8），于是可得到CD的長度．

解答 解：（1）①當(dāng)a=1、d=-1時，m=2a-d=3，
所以二次函數(shù)的表達式是y=-x²+x+6．
∵a=1，
∴點A的橫坐標(biāo)為1，點B的橫坐標(biāo)為3，
把x=1代入拋物線的解析式得：y=6，把x=3代入拋物線的解析式得：y=0，
∴A（1，6），B（3，0）．
將點A和點B的坐標(biāo)代入直線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=9}\end{array}\right.$，
所以k的值為-3．
②∵y=-x²+（m-2）x+2m=-（x-m）（x+2），
∴當(dāng)x=a時，y=-（a-m）（a+2）；當(dāng)x=a+2時，y=-（a+2-4）（a+4），
∵y₁隨著x的增大而減小，且a＜a+2，
∴-（a-m）（a+2）＞-（a+2-m）（a+4），解得：2a-m＞-4，
又∵2a-m=d，
∴d的取值范圍為d＞-4．
（2）∵d=-4且a≠-2、a≠-4，2a-m=d，
∴m=2a+4．
∴二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-x²+（2a+2）x+4a+8．
把x=a代入拋物線的解析式得：y=a²+6a+8．
把x=a+2代入拋物線的解析式得：y=a²+6a+8．
∴A（a，a²+6a+8）、B（a+2，a²+6a+8）．
∵點A、點B的縱坐標(biāo)相同，
∴AB∥x軸．
（3）線段CD的長度不變．
∵y=-x²+（m-2）x+2m過點A、點B，2a-m=d，
∴y=-x²+（2a-d-2）x+2（2a-d）．
∴y_A=-a²+（2-d）a-2d，y_B=a²+（2-d）a-4d-8．
∴點C（0，-2d），D（0，-4d-8）．
∴DC=|-2d-（-4d-8）|=|2d+8|．
∵d為常數(shù)，
∴線段CD的長度不變．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，求得點A和點B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．