Question

1．已知關(guān)于x的方程（a+2）x²-2ax+a=0有兩個不相等的實數(shù)根x₁和x₂，拋物線y=x²-（2a+1）x+2a-5與x軸的兩個交點分別為位于點（2，0）的兩旁，若|x₁|+|x₂|=2$\sqrt{2}$，則a的值為-1．

Answer 1

分析 由關(guān)于x的方程（a+2）x²-2ax+a=0有兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)一元二次方程的二次項系數(shù)不為0和根的判別式求出a的取值范圍．設(shè)拋物線y=x²-（2a+1）x+2a-5與x軸的兩個交點坐標分別為（α，0）、（β，0），且α＜β，得出α、β是關(guān)于x的方程x²-（2a+1）x+2a-5=0的兩個不相等的實數(shù)根，由拋物線y=x²-（2a+1）x+2a-5與x軸的兩個交點分別位于點（2，0）的兩旁，利用根與系數(shù)的關(guān)系確定a的取值范圍；把|x₁|+|x₂|=2$\sqrt{2}$變形后，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a的值．

解答 解：∵關(guān)于x的方程（a+2）x²-2ax+a=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2≠0}\\{△=（-2a）^{2}-4a（a+2）＞0}\end{array}\right.$，
解得：a＜0，且a≠-2   ①
設(shè)拋物線y=x²-（2a+1）x+2a-5與x軸的兩個交點的坐標分別為（α，0）、（β，0），且α＜β，
則α、β是關(guān)于x的方程x²-（2a+1）x+2a-5=0的兩個不相等的實數(shù)根，
∵△=[-（2a+1）]²-4×1×（2a-5）=（2a-1）²+21＞0，
∴a為任意實數(shù)②
由根與系數(shù)關(guān)系得：α+β=2a+1，αβ=2a-5．
∵拋物線y=x²-（2a+1）x+2a-5與x軸的兩個交點分別位于點（2，0）的兩旁，
∴α＜2，β＞2，
∴（α-2）（β-2）＜0，
∴αβ-2（α+β）+4＜0，
∴2a-5-2（2a+1）+4＜0
解得：a＞-$\frac{3}{2}$③
由①、②、③得a的取值范圍是-$\frac{3}{2}$＜a＜0；
∵x₁和x₂是關(guān)于x的方程（a+2）x²-2ax+a=0的兩個不相等的實數(shù)根
∴x₁+x₂=$\frac{2a}{a+2}$，x₁x₂=$\frac{a}{a+2}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜a＜0，
∴a+2＞0，
∴x₁x₂=$\frac{a}{a+2}$＜0．
不妨設(shè)x₁＞0，x₂＜0，
∴|x₁|+|x₂|=x₁-x₂=2$\sqrt{2}$，
∴x₁²-2x₁x₂+x₂²=8，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8，
∴（$\frac{2a}{a+2}$）²-$\frac{4a}{a+2}$=8，
解這個方程，得：a₁=-4，a₂=-1，
經(jīng)檢驗，a₁=-4，a₂=-1都是方程（$\frac{2a}{a+2}$）²-$\frac{4a}{a+2}$=8的根．
∵a=-4＜-$\frac{3}{2}$，舍去，
∴a=-1為所求．
故答案為-1．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式變形等知識，綜合性較強．利用根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系求出-$\frac{3}{2}$＜a＜0是解題的關(guān)鍵．