Question

11．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)F為弦AC的中點(diǎn)，連接OF并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：AC∥DE；
（2）若OA=AE=4，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)F為弦AC的中點(diǎn)，ED切⊙O于D，可得OD⊥AC，OD⊥DE，繼而證得結(jié)論；
（2）由OA=AE=4，易得∠E=30°，又由AC∥DE，利用三角函數(shù)的知識(shí)即可求得OF，AF的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答 （1）證明：∵OD過圓心，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，
∴OD⊥AC，
∵ED切⊙O于D，
∴OD⊥ED，
∴AC∥DE，

（2）解：∵OD=OA=4，OE=OA+AE=8，
∴OD=$\frac{1}{2}$OE，
∵在Rt△ODE中，OD=$\frac{1}{2}$OE，
∴∠E=30°，
∵AC∥DE，
∴∠CAB=∠E=30°，
∴在Rt△OAF中，OF=$\frac{1}{2}$AO=2，AF=$\sqrt{3}$OF=2$\sqrt{3}$，
∵F為AC中點(diǎn)，
∴AC=2AF=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意根據(jù)題意求得∠E=30°是關(guān)鍵．