Question

15．如圖，在平面直角坐標系中，點B在y軸正半軸上且∠ABO=30°，D（2，0），直線y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）的圖象過點C（3，n），與x軸交于點A．
（1）直接寫出A點坐標（-1，0），B點坐標（0，$\sqrt{3}$），n=3；
（2）求證：四邊形ABCD為平行四邊形；
（3）將△AOB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°到△A₁OB₁，求A₁的坐標；
（4）將△AOB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)到△A₂OB₂，直接寫出以點O、A₂、D、B₂為頂點的四邊形為平行四邊形時A₂的坐標．

Answer 1

分析 （1）求出直線y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1），當(dāng)y=0時，x=-1，得出∴A（-1，0），OA=1，由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出OB=$\sqrt{3}$OA=$\sqrt{3}$，得出B（0，$\sqrt{3}$），把點C坐標代入直線解析式求出n即可；
（2）由（1）得：C（3，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{\sqrt{3}}$），得出BC∥AD，BC=3，求出AD=OA+OD=3，得出BC=AD，即可證出四邊形ABCD為平行四邊形；
（3）作A₁E⊥OB于E，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OA₁=OA=1，∠AOA₁=120°，求出∠A₁OE=30°，得出A₁E=$\frac{1}{2}$OA₁=$\frac{1}{2}$，求出OE=$\sqrt{3}$A₁E=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可得出A₁（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
（4）分三種情況：當(dāng)點A₂在第一象限時，旋轉(zhuǎn)角為120°；點A₂在第四象限時，旋轉(zhuǎn)角為240°；點A₂在第二象限時，旋轉(zhuǎn)角為420°；分別由平行四邊形的性質(zhì)求出點A₂的坐標即可．

解答 解：（1）∵直線y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1），當(dāng)y=0時，x=-1，
∴A（-1，0），OA=1，
∵∠ABO=30°，∠AOB=90°，
∴AB=2OA=2，
∴OB=$\sqrt{3}$OA=$\sqrt{3}$，
∴B（0，$\sqrt{3}$），
把點C（3，n）代入直線y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）得：n=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（3+1）=$\sqrt{3}$，
故答案為：-1，0；0，$\sqrt{3}$；3；

（2）由（1）得：C（3，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{\sqrt{3}}$），
∴BC∥AD，BC=3，
∵AD=OA+OD=3，
∴BC=AD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形；

（3）作A₁E⊥OB于E，如圖所示：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OA₁=OA=1，∠AOA₁=120°，
∴∠A₁OE=120°-90°=30°，
∴A₁E=$\frac{1}{2}$OA₁=$\frac{1}{2}$，
∴OE=$\sqrt{3}$A₁E=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴A₁（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；

（4）當(dāng)點A₂在第一象限時，以點O、A₂、D、B₂為頂點的四邊形為平行四邊形時，A₂（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
點A₂在第四象限時，以點O、A₂、D、B₂為頂點的四邊形為平行四邊形時，A₂（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
點A₂在第二象限時，以點O、A₂、D、B₂為頂點的四邊形為平行四邊形時，A₂（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
綜上所述：以點O、A₂、D、B₂為頂點的四邊形為平行四邊形時A₂的坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）或（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）或（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了坐標與圖形性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、一次函數(shù)的應(yīng)用、平行四邊形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度．