Question

3．如圖，等腰直角三角形ABC頂點A在x軸上，∠BCA=90°，AC=BC=2$\sqrt{2}$，反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的圖象分別與AB，BC交于點D，E．連結(jié)DE，當(dāng)△BDE∽△BCA時，點E的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 首先設(shè)點D的坐標(biāo)是（m，$\frac{3}{m}$），點E的坐標(biāo)是（n，$\frac{3}{n}$），應(yīng)用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式是多少；然后根據(jù)△BDE∽△BCA，可得∠BDE=∠BCA=90°，推得直線y=x與直線DE垂直，再根據(jù)點D、E關(guān)于直線y=x對稱，推得mn=3；最后根據(jù)點D在直線AB上，求出點n的值是多少，即可判斷出點E的坐標(biāo)是多少．

解答 解：如圖1，

∵點D、E是反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的圖象上的點，
∴設(shè)點D的坐標(biāo)是（m，$\frac{3}{m}$），點E的坐標(biāo)是（n，$\frac{3}{n}$），
又∵∠BCA=90°，AC=BC=2$\sqrt{2}$，
∴C（n，0），B（n，2$\sqrt{2}$），A（n-2$\sqrt{2}$，0），
設(shè)直線AB的解析式是：y=ax+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{a（n-2\sqrt{2}）+b=0}\\{an+b=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2\sqrt{2}-n}\end{array}\right.$
∴直線AB的解析式是：y=x+2$\sqrt{2}$-n．
又∵△BDE∽△BCA，
∴∠BDE=∠BCA=90°，
∴直線y=x與直線DE垂直，
∴點D、E關(guān)于直線y=x對稱，
∴$\frac{m+n}{2}$=$\frac{\frac{3}{m}+\frac{3}{n}}{2}$，
∴mn=3，或m+n=0（舍去），
又∵點D在直線AB上，
∴$\frac{3}{m}$=m+2$\sqrt{2}$-n，mn=3，
整理，可得
2n²-2$\sqrt{2}$n-3=0，
解得n=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$或n=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去），
∴點E的坐標(biāo)是（$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
故答案為：（$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

點評 （1）此題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；③兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．
（2）此題還考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①圖象上的點（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k；②雙曲線是關(guān)于原點對稱的，兩個分支上的點也是關(guān)于原點對稱；③在圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．