Question

4．半徑為r的⊙O內(nèi)切于△ABC，∠C=60°，AB=$\sqrt{3}$，求r的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)AC=x，BC=y，根據(jù)S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC•sinC=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）r得到r=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}xy}{x+y+\sqrt{3}}$①在直角三角形CFO中，根據(jù)三角函數(shù)和切線長定理得到CF=$\sqrt{3}$r=$\frac{1}{2}$（x+y-$\sqrt{3}$）于是得到x+y=2$\sqrt{3}$r+$\sqrt{3}$，x=2$\sqrt{3}$r+$\sqrt{3}$-y代入①，整理得到關(guān)于y的一元二次方程$\sqrt{3}$y²-3（2r+1）y+（4$\sqrt{3}$r²+4$\sqrt{3}$r）=0根據(jù)△≥0得到4r²+4r-3≥0即可得到結(jié)果．

解答 解：如圖，設(shè)⊙O與△ABC的邊相切于E，Q，F(xiàn)，連接OE，OF，OG，
設(shè)AC=x，BC=y，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC•sinC=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）r
代入數(shù)據(jù)得到r=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}xy}{x+y+\sqrt{3}}$①
又∵在直角三角形CFO中，CF=$\sqrt{3}$r=$\frac{1}{2}$（x+y-$\sqrt{3}$）
∴x+y=2$\sqrt{3}$r+$\sqrt{3}$，∴x=2$\sqrt{3}$r+$\sqrt{3}$-y
代入①，整理得到關(guān)于y的一元二次方程$\sqrt{3}$y²-3（2r+1）y+（4$\sqrt{3}$r²+4$\sqrt{3}$r）=0
∵△≥0
得到4r²+4r-3≥0
解得：-$\frac{3}{2}$≤r≤$\frac{1}{2}$
結(jié)合題意只能是0＜r≤$\frac{1}{2}$，
故答案為0＜r≤$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，三角形的面積公式，切線的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵．