Question

18．如圖，AB為半圓O的直徑，D為$\widehat{BC}$的中點，連結BC交AD于點E，DF⊥AB于F，$tanA=\frac{3}{4}$，DF=16，求DE的長？

Answer 1

分析 連接BD，先由D為$\widehat{BC}$中點，根據圓心角、弧、弦的關系及圓周角定理得出$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，∠DAB=∠DBE，又∠ADB公共，根據兩角對應相等的兩三角形相似得出△BDE∽△ADB，然后由相似三角形對應邊成比例得出BD：AD=DE：BD，即為BD²=AD•DE，在Rt△ADG中，由tanA=$\frac{3}{4}$，DF=16，求出AD=$\frac{80}{3}$，然后解Rt△ADB，求出BD=20，再根據（1）的結論BD²=AD•DE，即可求出DE的長．

解答 解：連接BD．
∵D為$\widehat{BC}$中點，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠DAB=∠DBE，
又∵∠BDE=∠ADB，
∴△BDE∽△ADB，
∴BD：AD=DE：BD，
∴BD²=AD•DE；
∵DF⊥AB于F，
∴∠AFD=90°．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ADF中，∵tanA=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{3}{4}$．
設DF=3k，則AF=4k，AD=5k，
∴$\frac{DF}{AD}$=$\frac{3}{5}$．
又∵DF=16，
∴AD=$\frac{80}{3}$．
在Rt△ADB中，tanA=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{3}{4}$，
∴BD=$\frac{3}{4}$AD=20．
∵BD²=AD•DE，
∴DE=$\frac{B{D}^{2}}{AD}$=$\frac{2{0}^{2}}{\frac{80}{3}}$=15．

點評 本題考查了圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，勾股定理，解直角三角形，綜合性較強，有一定難度．