Question

14．如圖，直線1與反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象在第一象限內(nèi)交于A，B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)C，若AB：BC=（m-1）：1（m＞1），則△OAB的面積（用m表示）為$\frac{{m}^{2}-1}{m}$．

Answer 1

分析 作AD⊥x軸于點(diǎn)D，BE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)相似三角形的判定得到△CAD∽△CBE，則CB：CA=BE：AD，而AB：BC=（m-1）：1（m＞1），則有AC：BC=m：1，AD：BE=m：1，若B點(diǎn)坐標(biāo)為（a，$\frac{2}{a}$），則A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{2m}{a}$，把y=$\frac{2m}{a}$代入得$\frac{2m}{a}$=$\frac{2}{x}$，易確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{a}{m}$，$\frac{2m}{a}$），然后利用S_△OAB=S_△AOD+S_梯形ADEB-S_△BOE計(jì)算即可．

解答 解：作AD⊥x軸于點(diǎn)D，BE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖，
∵BE∥AD，
∴△CAD∽△CBE，
∴CB：CA=BE：AD，
∵AB：BC=（m-1）：1（m＞1），
∴AC：BC=m：1，
∴AD：BE=m：1，
設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（a，$\frac{2}{a}$），則A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{2m}{a}$，
∵點(diǎn)A在y=$\frac{2}{x}$上，
把y=$\frac{2m}{a}$代入得$\frac{2m}{a}$=$\frac{2}{x}$，
解得x=$\frac{a}{m}$，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{a}{m}$，$\frac{2m}{a}$），
S_△OAB=S_△AOD+S_梯形ADEB-S_△BOE
=S_梯形ADEB
=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{a}$+$\frac{2m}{a}$）（a-$\frac{a}{m}$）
=（m+1）（1-$\frac{1}{m}$）
=$\frac{{m}^{2}-1}{m}$．
故答案為$\frac{{m}^{2}-1}{m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)綜合題：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之積為k；運(yùn)用比例的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)得到有關(guān)線段的比．