Question

3．如圖，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH=2，連結(jié)CF．
（1）若DG=2，求證：四邊形EFGH為正方形；
（2）若DG=6，求△FCG的面積．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)證明Rt△DHG≌△AEH，得到∠DHG=∠AEH，從而得到∠GHE=90°，然后根據(jù)有一個(gè)角為直角的菱形為正方形得到四邊形EFGH為正方形；
（2）作FQ⊥CD于Q，連結(jié)GE，如圖，利用AB∥CD得到∠AEG=∠QGE，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得HE=GF，HE∥GF，則∠HEG=∠FGE，所以∠AEH=∠QGF，于是可證明△AEH≌△QGF，得到AH=QF=2，然后根據(jù)三角形面積公式求解．

解答 （1）證明：∵四邊形EFGH為菱形，
∴HG=EH，
∵AH=2，DG=2，
∴DG=AH，
在Rt△DHG和△AEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{HG=EH}\\{DG=AH}\end{array}\right.$，
∴Rt△DHG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AHE，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，
∵四邊形EFGH為菱形，
∴四邊形EFGH為正方形；
（2）解：作FQ⊥CD于Q，連結(jié)GE，如圖，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，
∵四邊形EFGH為菱形，
∴HE=GF，HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠QGF，
在△AEH和△QGF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠Q}\\{∠AEH=∠QGF}\\{HE=FG}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△QGF，
∴AH=QF=2，
∵DG=6，CD=8，
∴CG=2，
∴△FCG的面積=$\frac{1}{2}$CG•FQ=$\frac{1}{2}$×2×2=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的判定與性質(zhì)：正方形的判定沒(méi)有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定；正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)．也考查了菱形和矩形的性質(zhì)．