Question

7．如圖，點(diǎn)D是⊙O的直徑CA延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn)B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若點(diǎn)E是劣弧BC上一點(diǎn)，AE與BC相交于點(diǎn)F，且∠ABE=105°，S_△BEF=8（$\sqrt{3}$-1），求△ACF的面積和CF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件證得△ABO為等邊三角形，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求得∠ABD=∠ADB=30°，則可求得∠OBD=90°，BD是⊙O的切線；
（2）先求得∠CAF=∠EBF=15°，進(jìn)而求得∠BAF=45°，可求得sin45°=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可證明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面積比等于相似比的平方即可求得△ACF的面積，通過解直角三角形ABC和等腰三角形的性質(zhì)得出BC=$\sqrt{3}$BF，得出FC=（$\sqrt{3}$-1）BF，然后根據(jù)S_△ACF=$\frac{1}{2}$CF•AB=$\frac{1}{2}$CF•BF=16（$\sqrt{3}$-1），即可求得CF的長．

解答 （1）證明：連接BO，
∵AB=AO，BO=AO，
∴AB=AO=BO，
∴△ABO為等邊三角形，
∴∠BAO=∠ABO=60°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
又∵∠D+∠ABD=∠BAO=60°，
∴∠ABD=30°，
∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°，即BD⊥BO，
∴BD是⊙O的切線；
（2）解：∵∠ABC=90°，∠ABE=105°，
∴∠CAF=∠EBF=15°，
∵∠BAO=60°，
∴∠BAF=45°，
∴sin45°=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF，
∴△ACF∽△BEF，
∴$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△ACF}}$=（ $\frac{BF}{AF}$）²=$\frac{1}{2}$，
又∵S_△BEF=8（$\sqrt{3}$-1），
∴S_△ACF=16（$\sqrt{3}$-1）．
在RT△ABC中，
∵∠BAC=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$AB，
∵AB=BF，
∴BC=$\sqrt{3}$BF，
∴FC=（$\sqrt{3}$-1）BF，
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}$CF•AB=$\frac{1}{2}$CF•BF=16（$\sqrt{3}$-1），
∴$\frac{1}{2}$CF•BF=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1）BF•BF=16（$\sqrt{3}$-1），
∴BF=4$\sqrt{2}$，
∴CF=（$\sqrt{3}$-1）×$4\sqrt{2}$=4$\sqrt{6}$-4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題綜合考查了圓的切線的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)等內(nèi)容，是一個(gè)綜合較強(qiáng)的題目，難度較大．