Question

1．如圖．△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°．
（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖．并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡．不寫作法）．
①作△ABC的外接圓O；
②在AB的延長(zhǎng)線上作一點(diǎn)D，使得CD與⊙O相切；
（2）綜合與運(yùn)用：在你所作的圖中．若AC=6，則由線段CD、BD及$\widehat{BC}$所圍成圖形的面積為6$\sqrt{3}$-2π．

Answer 1

分析 （1）①作線段AB的垂直平分線EF交AB于O，以O(shè)為圓心OA為半徑作⊙O，⊙O即為所求；②過(guò)點(diǎn)C作OC的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于D，直線CD即為所求；
（2）先求得OC，CD以及∠COB的度數(shù)，再根據(jù)CD，BD及$\widehat{BC}$所圍成圖形的面積=S_△DOC-S_扇形O-BC計(jì)算即可；

解答 解：（1）①作線段AB的垂直平分線EF交AB于O，以O(shè)為圓心OA為半徑作⊙O，則⊙O即為所求．
②過(guò)點(diǎn)C作OC的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于D，則點(diǎn)D即為所求．

（2）∵AC=6，∠A=30°，
∴BC=tan30°×6=2$\sqrt{3}$，∠COB=60°，
又∵OC=OB，
∴△COB是等邊三角形，
∴OC=2$\sqrt{3}$，
∵CD與⊙O相切，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=30°，
∴DO=2OC=4$\sqrt{3}$，
∴DC=6，
∴線段CD，BD及$\widehat{BC}$所圍成圖形的面積=S_△DOC-S_扇形OBC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×6-$\frac{60π×（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=6$\sqrt{3}$-2π．
故答案為：6$\sqrt{3}$-2π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查作圖-復(fù)雜作圖、三角形的外接圓與外心、切線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本作圖，學(xué)會(huì)用分割法求圖形面積．