Question

12．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，1），過(guò)點(diǎn)A的直線l垂直于線段AB，點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸，垂足為C，把△ACP沿AP翻折180°，使點(diǎn)C落在點(diǎn)D處．若以A，D，P為頂點(diǎn)的三角形與△ABP相似，則所有滿足此條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（5，2），p（8，8），P（0，-8），P（3，-2）．

Answer 1

分析 求出直線L的解析式，證出△AOB∽△PCA，得出 $\frac{BO}{AO}$=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)AC=m，則PC=2m，根據(jù)△PCA≌△PDA，得出 $\frac{AD}{PD}$=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，當(dāng)△PAD∽△PBA時(shí)，根據(jù) $\frac{AD}{PD}$=$\frac{BA}{PA}$=$\frac{1}{2}$，AB=$\sqrt{5}$，求出AP=2$\sqrt{5}$，m²+（2m）²=（2$\sqrt{5}$）²，得出m=±2，從而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，4）、（0，-4），若△PAD∽△BPA，得出 $\frac{PA}{BA}$=$\frac{AD}{PD}$=$\frac{1}{2}$，求出PA=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，從而得出m²+（2m）²=（ $\frac{\sqrt{5}}{2}$）²，求出m=±$\frac{1}{2}$，即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，1）、（$\frac{3}{2}$，-1）．

解答 解：∵直線l過(guò)點(diǎn)A（4，0），且l⊥AB，
∴直線L的解析式為；y=2x-8，
∠BAO+∠PAC=90°，
∵PC⊥x軸，
∴∠PAC+∠APC=90°，
∴∠BAO=∠APC，
∵∠AOB=∠ACP，
∴△AOB∽△PCA，
∴$\frac{BO}{CA}$=$\frac{AO}{PC}$，
∴$\frac{BO}{AO}$=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)AC=m，則PC=2m，
∵△PCA≌△PDA，
∴AC=AD，PC=PD，
∴$\frac{AD}{PD}$=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
如圖1：當(dāng)△PAD∽△PBA時(shí)，

則 $\frac{AD}{BA}$=$\frac{PD}{PA}$，
則 $\frac{AD}{PD}$=$\frac{BA}{PA}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AP=2$\sqrt{5}$，
∴m²+（2m）²=（2$\sqrt{5}$）²，
∴m=±2，
當(dāng)m=2時(shí)，PC=4，OC=4，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，4），
當(dāng)m=-2時(shí)，如圖2，

PC=4，OC=0，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-4），
如圖3，若△PAD∽△BPA，

則 $\frac{PA}{BA}$=$\frac{AD}{PD}$=$\frac{1}{2}$，
PA=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
則m²+（2m）²=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²，
∴m=±$\frac{1}{2}$，
當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時(shí)，PC=1，OC=$\frac{5}{2}$，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，1），
當(dāng)m=-$\frac{1}{2}$時(shí)，如圖4，PC=1，OC=$\frac{3}{2}$，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-1）；

故答案為：P（5，2 ），p（8，8），P（0，-8），P（3，-2）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一次函數(shù)的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、一次函數(shù)等，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，注意有四個(gè)點(diǎn)．