Question

16．提出問(wèn)題：
（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，H分別在BC，AB上，若AE⊥DH于點(diǎn)O，求證：AE=DH；
類(lèi)比探究：
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)H，E，G，F(xiàn)分別在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于點(diǎn)O，探究線(xiàn)段EF與HG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DH；
（2）將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF，將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．根據(jù)（1）的結(jié)論得AM=DN，所以EF=GH．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．
∴∠HAO+∠OAD=90°．
∵AE⊥DH，
∴∠ADO+∠OAD=90°．
∴∠HAO=∠ADO．
在△ABE和△DAH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠HDA}\\{AB=AD}\\{∠B=∠HAD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴AE=DH；

（2）解：EF=GH．
理由：如圖所示：

將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF．
將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．
∵EF⊥GH，
∴AM⊥DN，
根據(jù)（1）的結(jié)論得AM=DN，所以EF=GH．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練利用全等三角形的判定方法得出全等三角形是解題關(guān)鍵．