Question

9．如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，過A點(diǎn)作BC的平行線，截取AE=BD，連結(jié)EB，連結(jié)EC交AD于點(diǎn)F．
（1）證明：當(dāng)點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；
（2）證明：當(dāng)點(diǎn)D是AB的中垂線與BC的交點(diǎn)時(shí)，四邊形AEBD是菱形．

Answer 1

分析 （1）證得△EAF≌△CDF后即可得到DC=AE，然后根據(jù)AE=BD得到BD=DC；
（2）首先利用一組對(duì)邊相等且平行的四邊形為平行四邊形證得平行四邊形，然后根據(jù)中垂線的性質(zhì)得到BD=AD，從而利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進(jìn)行判定即可．

解答 證明：（1）∵AE∥BC，
∴∠EAF=∠CDF，
又∵F是AD的中點(diǎn)，
∴AF=DF，
∴$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠CDF}\\{∠EFA=∠DFC}\\{AF=DF}\end{array}\right.$
∴△EAF≌△CDF，
∴DC=AE，
∵AE=BD，
∴BD=DC；

（2）∵AE=BD且AE∥BD，
∴四邊形AEBD是平行四邊形，
又∵點(diǎn)D是AB的中垂線與BC的交點(diǎn)，則有BD=AD，
∴平行四邊形AEBD一組鄰邊相等，
∴四邊形AEBD是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解菱形的幾種判定方法，難度不大．