Question

8．在Rt△AEB中，∠AEB=90°，以斜邊AB為邊向Rt△AEB形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的對角線交于點O（如圖1）
（1）求證：EO平分∠AEB．
（2）試猜想線段OE與EB，EA之間的數量關系，請寫出結論并證明．
（3）過點C作CF⊥EB于F，過點D作DH⊥EA于H，CF和DH的反向延長線交于點G（如圖2），求證：四邊形EFGH為正方形．

Answer 1

分析 （1）先根據正方形的性質得出OA⊥OB，故可得出A、O、B、E四點共圓，再由圓周角定理即可得出結論；
（2）延長EA至點F，使AF=BE，連接OF，先根據SAS定理得出△OBE≌△OAF，故可得出OE=OF，再判斷出△OEF的形狀，根據勾股定理即可得出結論；
（3）先根據ASA定理得出△ABE≌△ADH，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF，故可得出CG+FG=BF+BE=AE+AH，由此可得出結論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AC⊥BD，∠ABO=∠BAO=45°，
∴∠AOB=90°，
∴∠AEB+∠AOB=90°+90°=180°，
∴A、O、B、E四點共圓，
∵OA=OB，
∴∠OEB=∠OEA，即EO平分∠AEB；

（2）解：AE+BE=$\sqrt{2}$OE．
理由：如圖1，延長EA至點F，使AF=BE，連接OF，
∵由（1）知，∠OBE+∠OAE=180°，∠OAE+∠OAF=180°，
∴∠OBE=∠OAE，
在△OBE與△OAF中，
$\left\{\begin{array}{l}OB=OA\\∠OBE=∠OAF\\ BE=AF\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△OAF（SAS），
∴OE=OF，∠BOE=∠AOF．
∵∠BOE+∠AOE=90°，
∴∠AOF+∠AOE=90°，
∴∠EOF=90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴2OE²=EF²，即2OE²=（AE+BE）²，
∴AE+BE=$\sqrt{2}$OE．

（3）證明：如圖2所示，
∵ABCD是正方形，∠E=∠H=90°，
∴AB=AD．
∵∠EAB+∠DAH=90°，∠EAB+∠ABE=90°，∠ADH+∠DAH=90°，
∴∠EAB=∠HAD，∠ABE=∠DAH．
在△ABE與△ADH中，
$\left\{\begin{array}{l}∠EAB=∠HAD\\ AB=AD\\∠ABE=∠DAH\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADH（ASA）．
同理可得，△ABE≌△ADH，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF，
∴CG+FC=BF+BE=AE+AH，
∴四邊形EFGH為正方形．

點評 本題考查的是正方形的判定與性質，涉及到全等三角形的判定與性質、直角三角形的判定與性質等知識，難度適中．