Question

9．己知，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=90°，P是BC延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，∠PAC=α．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖的方法在射紙CB上找一點(diǎn)Q，使得∠QAC=α，（保留作圖痕跡，不必證明）．并直接寫出∠AQB的大��；
（2）在（1）的條件下，證明：AP²+AQ²=（BP-CQ）²．

Answer 1

分析 （1）利用基本作圖（作一個(gè)角等于已知角畫出∠QAC=∠PAC；
（2）作∠BAM=α，如圖，則∠BAM=∠CAQ，則可證明△ABM≌△ACQ得到BM=CQ，AM=AQ，所以BP-CQ=BP-BM=PM，再證明∠MAP=90°，然后利用勾股定理得到PM²=AP²+AM²，于是利用等線段代換即可得到結(jié)論．

解答 （1）解：如圖，∠QAC為所作；

∵AB=AC=1，∠BAC=90°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠AQB=∠ACQ+∠QAC=45°+α；
（2）證明：作∠BAM=α，如圖，則∠BAM=∠CAQ，
在△ABM和△ACQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACQ}\\{AB=AC}\\{∠BAM=∠CAQ}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACQ，
∴BM=CQ，AM=AQ，
∴BP-CQ=BP-BM=PM，
∵∠BAM=∠PAC=α，
而∠BAC=90°，
∴∠MAP=90°，
在Rt△AMP中，PM²=AP²+AM²，
∴AP²+AQ²=（BP-CQ）²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線．解決（2）小題的關(guān)鍵是關(guān)鍵△ABM與△ACQ全等．