Question

1．（1）閱讀下列材料，并解答后面的問(wèn)題：
∵$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），…，$\frac{1}{17×19}$=（-$\frac{1}{19}$）
∴$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+$…+$\frac{1}{17×19}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}（\frac{1}{17}$-$\frac{1}{19}$）
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{17}-\frac{1}{19}）$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{19}）$
=$\frac{9}{19}$
①在式子$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+…$中，第五項(xiàng)為$\frac{1}{9×11}$，第n項(xiàng)為$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$．
②解方程：$\frac{1}{x（x+1）}+\frac{1}{（x+1）（x+2）}+…+\frac{1}{（x+99）（x+100）}$=$\frac{5}{x+100}$（有計(jì)算過(guò)程）

Answer 1

分析 ①根據(jù)式子$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+…$中，前兩項(xiàng)分別是：$\frac{1}{1×3}=\frac{1}{（2×1-1）×（2×1+1）}$，$\frac{1}{3×5}=\frac{1}{（2×2-1）×（2×2+1）}$，判斷出第五項(xiàng)、第n項(xiàng)分別為多少即可．
②首先化簡(jiǎn)$\frac{1}{x（x+1）}+\frac{1}{（x+1）（x+2）}+…+\frac{1}{（x+99）（x+100）}$，然后根據(jù)一元二次方程的解法，求出方程的解是多少即可．

解答 解：①∵$\frac{1}{1×3}=\frac{1}{（2×1-1）×（2×1+1）}$，$\frac{1}{3×5}=\frac{1}{（2×2-1）×（2×2+1）}$，…，
∴第五項(xiàng)為：$\frac{1}{9×11}$，第n項(xiàng)為：$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$．

②$\frac{1}{x（x+1）}+\frac{1}{（x+1）（x+2）}+…+\frac{1}{（x+99）（x+100）}$，
=$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+1}-$$\frac{1}{x+2}$+…$+\frac{1}{x+99}$-$\frac{1}{x+100}$
=$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100}$
=$\frac{100}{x（x+100）}$
=$\frac{5}{x+100}$
∴x²+80x-2000=0，
解得x=-100或x=20，
∵x+100≠0，
∴x≠100，
∴方程$\frac{1}{x（x+1）}+\frac{1}{（x+1）（x+2）}+…+\frac{1}{（x+99）（x+100）}$=$\frac{5}{x+100}$的解是：x=20．
故答案為：$\frac{1}{9×11}$，$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了分式的加減法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過(guò)通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減法．
（2）此題還考查了一元二次方程的解法，要熟練掌握．