Question

5．如圖，拋物線(xiàn)y=ax²+bx-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）以點(diǎn)A為圓心，作于直線(xiàn)BC相切的⊙A，求⊙A的面積；
（3）將直線(xiàn)BC向下平移n個(gè)單位后與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)M、N，且線(xiàn)段MN=2CB，求直線(xiàn)MN的解析式及平移距離．
附：閱讀材料
法國(guó)弗朗索瓦•韋達(dá)最早發(fā)現(xiàn)一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系為：兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)之比的相反數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)羽二次項(xiàng)系數(shù)之比，人們稱(chēng)之為韋達(dá)定理．
即：設(shè)一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁、x₂，則：x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$能靈活運(yùn)用韋達(dá)定理，有時(shí)可以使解題更為簡(jiǎn)單．

Answer 1

分析 （1）設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-1）（x-4），即y=ax²-5ax+4a，然后利用4a=-2求出a即可得到拋物線(xiàn)解析式；
（2）作AD⊥BC于D，如圖，先確定C（0，-2），計(jì)算出BC=2$\sqrt{5}$，再證明Rt△BAD∽R(shí)t△BCO，利用相似比可計(jì)算出AD=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，然后利用切線(xiàn)的性質(zhì)得到圓的半徑為AD，再利用圓的面積公式求解；
（3）先利用待定系數(shù)法確定直線(xiàn)BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，則可設(shè)直線(xiàn)MN的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+t，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用兩函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題得到x₁、x₂為方程-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$x+2t的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=4，x₁•x₂=2t+4，則y₁-y₂=$\frac{1}{2}$（x₁-x₂），接著利用兩點(diǎn)間的距離公式和完全平方公式得到MN=$\sqrt{\frac{5}{4}[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{-10t}$，所以$\sqrt{-10t}$=4$\sqrt{5}$，解方程得到t的值，從而得到直線(xiàn)MN的解析式，然后利用直線(xiàn)平移的規(guī)律確定平移的距離．

解答 解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x-1）（x-4），
即y=ax²-5ax+4a，
∴4a=-2，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2；

（2）作AD⊥BC于D，如圖，當(dāng)x=0時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2=-2，則C（0，-2），
BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
∵∠ABD=∠CBO，
∴Rt△BAD∽R(shí)t△BCO，
∴$\frac{AD}{OC}$=$\frac{AB}{BC}$，即$\frac{AD}{2}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴AD=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∵直線(xiàn)BC相切的⊙A，
∴AD為⊙A的半徑，
∴⊙A的面積=π•（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）²=$\frac{9}{5}$π；

（3）設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+m，
把B（4，0），C（0，-2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4k+m=0}\\{m=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{m=-2}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，
設(shè)直線(xiàn)MN的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+t，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁、x₂為方程-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$x+2t的兩根，
方程整理為x²-4x+2t+4=0，
∴x₁+x₂=4，x₁•x₂=2t+4，
∵y₁-y₂=$\frac{1}{2}$x₁+t-（$\frac{1}{2}$x₂+t）=$\frac{1}{2}$（x₁-x₂），
∴MN=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{4}（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{4}[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{4}[16-4（2t+4）]}$=$\sqrt{-10t}$，
∵M(jìn)N=2CB，
∴$\sqrt{-10t}$=4$\sqrt{5}$，解得t=-8，
∴直線(xiàn)MN的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-8，
∴將直線(xiàn)BC向下平移6個(gè)單位得到直線(xiàn)MN，即平移的距離為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和切線(xiàn)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，會(huì)通過(guò)解方程組求兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)；能利用兩點(diǎn)間的距離公式和相似比計(jì)算線(xiàn)段的長(zhǎng)；靈活應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系．