Question

14．如圖，已知正方形ABCD和正方形AEFG，連結(jié)BE、DG．
（1）請你判斷線段BE和DG的關(guān)系并證明你的結(jié)論；
（2）連接BD、EG、DE，點(diǎn)M、N、P分別是BD、EG、DE的中點(diǎn)，連接MP，PN，MN，請你畫出圖形并判斷△MPN的形狀，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SAS證明△BEA與△DAG全等，再利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；
（2）由三角形中位線定理得出PM=PN，∠MPN=∠BOD=90°，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）BE和DG的關(guān)系是：BE=DG；BE⊥DG；理由如下：
∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAD+∠DAE=∠EAG+∠DAE，
∴∠BAE=∠DAG，
∵在△BEA與△DAG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAE=∠DAG}&{\;}\\{AE=AG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEA≌△DAG（SAS）；
∴BE=DG，∠ADG=∠ABE，
∴∠BOD=∠BAD=90°，
∴BE⊥DG；

（2）△MPN是等腰直角三角形；理由如下：
如圖，由三角形中位線定理可得：MP∥BE，MP=$\frac{1}{2}$BE，PN∥DG，PN=$\frac{1}{2}$DG，
∴PM=PN，∠MPN=∠BOD=90°，
即△MPN是等腰直角三角形．

點(diǎn)評 此題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)和三角形中位線定理，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．