Question

13．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）經(jīng)過點A（-1，0），B（5，-5），C（6，0）
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，在直線AB下方的拋物線上是否存在點P使四邊形PACB的面積最大？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）若點Q為拋物線的對稱軸上的一個動點，試指出使△QAB為等腰三角形的點Q一共有幾個？并請你求出其中一個點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）拋物線經(jīng)過點A（-1，0），B（5，-5），C（6，0），可利用兩點式法設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-6），代入B（5，-5）即可求得函數(shù)的解析式；
（2）作輔助線，將四邊形PACB分成三個圖形，兩個三角形和一個梯形，設(shè)P（m，$\frac{5}{6}$m²-$\frac{25}{6}$m-5），四邊形PACB的面積為S，用字母m表示出四邊形PACB的面積S，發(fā)現(xiàn)是一個二次函數(shù)，利用頂點坐標(biāo)求極值，從而求出點P的坐標(biāo)．
（3）分三種情況畫圖：①以A為圓心，AB為半徑畫弧，交對稱軸于Q₁和Q₄，有兩個符合條件的Q₁和Q₄；②以B為圓心，以BA為半徑畫弧，也有兩個符合條件的Q₂和Q₅；③作AB的垂直平分線交對稱軸于一點Q₃，有一個符合條件的Q₃；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出Q₃坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)y=a（x+1）（x-6）（a≠0），
把B（5，-5）代入：a（5+1）（5-6）=-5，
a=$\frac{5}{6}$，
∴y=$\frac{5}{6}$（x+1）（x-6）=$\frac{5}{6}$x²-$\frac{25}{6}$x-5；
（2）存在，
如圖1，
分別過P、B向x軸作垂線PM和BN，垂足分別為M、N，
設(shè)P（m，$\frac{5}{6}$m²-$\frac{25}{6}$m-5），四邊形PACB的面積為S，
則PM=-$\frac{5}{6}$m²+$\frac{25}{6}$m+5，AM=m+1，MN=5-m，CN=6-5=1，BN=5，
∴S=S_△AMP+S_梯形PMNB+S_△BNC，
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{5}{6}$m²+$\frac{25}{6}$m+5）（m+1）+$\frac{1}{2}$（5-$\frac{5}{6}$m²+$\frac{25}{6}$m+5）（5-m）+$\frac{1}{2}$×1×6，
=-$\frac{5}{2}$（m²-4m+4）+$\frac{81}{2}$
=-$\frac{5}{2}$（m-2）²+$\frac{81}{2}$，
當(dāng)m=2時，S有最大值為$\frac{81}{2}$，這時$\frac{5}{6}$m²-$\frac{25}{6}$m-5=$\frac{5}{6}$×2²-$\frac{25}{6}$×2-5=-10，
∴P（2，-10），
（3）這樣的Q點一共有5個，
①以A為圓心，以AB為半徑畫弧，交拋物線的對稱軸于Q₁、Q₄，則AQ₁=AQ₄=AB，
設(shè)對稱軸交x軸于E，
y=$\frac{5}{6}$x²-$\frac{25}{6}$x-5=$\frac{5}{6}$（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{245}{24}$；
∴拋物線的對稱軸是：x=$\frac{5}{2}$，
∵A（-1，0），B（5，-5），
∴AB=$\sqrt{（5+1）^{2}+（-5-0）^{2}}$=$\sqrt{61}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$+1=$\frac{7}{2}$，
由勾股定理得：Q₁E=Q₄E=$\sqrt{（\sqrt{61}）^{2}-（\frac{7}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{195}}{2}$，
∴Q₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{195}}{2}$），Q₄（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{195}}{2}$）
②以B為圓心，以AB為半徑畫弧，交拋物線的對稱軸于Q₂、Q₅，
∴Q₂F=Q₅F=AB=$\sqrt{61}$，
過B作BF⊥Q₁Q₅于F，則Q₂F=Q₅F，
∵B（5，-5），
∴BF=$\frac{5}{2}$，
由勾股定理得：Q₂F=$\sqrt{（\sqrt{61}）^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{219}}{2}$，
∴Q₅E=$\frac{\sqrt{219}}{2}$+5=$\frac{\sqrt{219}+10}{2}$，
∴Q₅（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{219}+10}{2}$），
∵Q₂E=$\frac{\sqrt{219}}{2}$-5=$\frac{\sqrt{219}-10}{2}$，
∴Q₂（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{219}-10}{2}$），
③連接Q₃A、Q₃B，
因為Q₃在對稱軸上，所以設(shè)Q₃（$\frac{5}{2}$，y），
∵△Q₃AB是等腰三角形，且Q₃A=Q₃B，
由勾股定理得：（$\frac{5}{2}$+1）²+y²=（$\frac{5}{2}$-5）²+（y+5）²，
y=-$\frac{19}{10}$，
∴Q₃（$\frac{5}{2}$，-$\frac{19}{10}$）．
綜上所述，點Q的坐標(biāo)為：Q₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{195}}{2}$），Q₂（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{219}-10}{2}$），Q₃（$\frac{5}{2}$，-$\frac{19}{10}$）．Q₄（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{195}}{2}$）Q₅（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{219}+10}{2}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求解析式，解（2）的關(guān)鍵是利用多邊形的面積得出二次函數(shù)，解（3）的關(guān)鍵是利用等腰三角形的一些性質(zhì)，注意由一個動點與兩個定點組成的等腰三角形三種情況的討論．