Question

5．如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC的垂直平分線BE與CD交于點(diǎn)F，與AC交于點(diǎn)E．
（1）判斷△DBC的形狀并證明你的結(jié)論．
（2）求證：BF=AC．
（3）試說明CE=$\frac{1}{2}$BF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到∠BCD=45°，求得BD=CD，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）△DBC是等腰直角三角形，
理由：∵∠ABC=45°，CD⊥AB，
∴∠BCD=45°，
∴BD=CD，
∴△DBC是等腰直角三角形；
（2）∵BE⊥AC，
∴∠BDC=∠BEC=90°，
∵∠BFD=∠CFE，
∴∠DBF=∠ACD，
在△BDF與△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠ADC=90°}\\{∠DBF=∠DCA}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ACD，
∴BF=AC；
（3）∵BE是AC的垂直平分線，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC，
∴CE=$\frac{1}{2}$BF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．