Question

6．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=10，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以A，P，B為頂點(diǎn)的三角形與△PDC相似，則AP=1或5或9．

Answer 1

分析 設(shè)AP=x，則PD=AD-AP=10-x，然后分類討論：若∠APB=∠DPC，則Rt△APB∽R(shí)t△DPC，得到比例式，代入求出即可；若∠APB=∠PCD，則Rt△APB∽R(shí)t△DCP，得到比例式，代入求出即可．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC=3，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，
設(shè)AP=x，則PD=AD-AP=10-x，
若∠APB=∠DPC，則Rt△APB∽R(shí)t△DPC，
所以$\frac{AP}{PD}$=$\frac{AB}{CD}$，即$\frac{x}{10-x}$=$\frac{3}{3}$，
解得：x=5；
若∠APB=∠PCD，則Rt△APB∽R(shí)t△DCP，
所以$\frac{AB}{DP}$=$\frac{AP}{CD}$，
$\frac{3}{10-x}$=$\frac{x}{3}$，
解得：x=1或9；
所以當(dāng)AP=1或5或9時(shí)，以P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與以P，D，C為頂點(diǎn)的三角形相似，即這樣的P點(diǎn)有三個(gè)．
故答案為：1或5或9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和判定，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵，注意：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，用了分類討論的思想．