Question

1．如圖，扇形OAB的圓心角為90°，C、D是$\widehat{AB}$的三等分點(diǎn)，AB與OC、OD分別相交于點(diǎn)E、F．指出圖中與AE相等的線段，并說明理由．

Answer 1

分析 連接AC，BD，先根據(jù)∠AOB=90°，再由C、D為弧AB的三等分點(diǎn)可求出∠AOC=∠COD=∠BOD=30°；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠OEF=∠OFE=75°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠ACO=75°，可得AE=AC，再由C、D為弧AB的三等分點(diǎn)可求出AC=CD=BD，可得出CD=AE=BF．

解答 解：CD=AE=BF，
理由：連接AC，BD，
∵在⊙O中，∠AOB=90°，C、D為弧AB的三等分點(diǎn)，
∴∠AOC=$\frac{1}{3}$∠AOB=$\frac{1}{3}$×90°=30°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠AOC=∠BOD=30°，
∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠OFE=75°，
∵∠AEC=∠BFD=75°，
∵∠AOC=30°，OA=OC，
∴$∠ACO=∠CAO=\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠ACO=∠AEC=75°，
∴AE=AC，
同理：BF=BD，
∵C、D是$\widehat{AB}$的三等分點(diǎn)，
∴AC=CD=BD，
∴CD=AE=BF．

點(diǎn)評 本題考查的是圓的綜合題，涉及到圓心角、弧、弦的關(guān)系，等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)等知識，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．