Question

18．已知a＜0，關(guān)于x的方程$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x+a}$+$\frac{1}{x+{a}^{2}}$=0，求證：
（1）方程必有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根；
（2）正根必小于-$\frac{2}{3}$a，負(fù)根必大于-$\frac{2}{3}$a²．

Answer 1

分析 （1）方程去分母整理得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)a＜0，判斷根的判別式大于0，且兩根之積小于0，即可得到方程必有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根；
（2）設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，且x₁＞0＞x₂，利用求根公式表示出兩根，利用不等式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得證．

解答 證明：（1）方程去分母得：3x²+（2a²+2a）x+a³=0，
設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，
∵a＜0，∴-a³＞0，a⁴＞0，a²＞0，即a⁴-a³+a²＞0，
∴△=（2a²+2a）²-12a³=4a⁴+8a³+4a²-12a³=4a⁴-4a³+4a²=4（a⁴-a³+a²）＞0，且x₁x₂=$\frac{{a}^{3}}{3}$＜0，
則方程必有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根；
（2）設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，且x₁＞0＞x₂，
∵x=$\frac{-2{a}^{2}-2a+2\sqrt{{a}^{4}-{a}^{3}+{a}^{2}}}{6}$=$\frac{-{a}^{2}-a±a\sqrt{{a}^{2}-a+1}}{3}$，
∴x₁=$\frac{-{a}^{2}-a-a\sqrt{{a}^{2}-a+1}}{3}$＜$\frac{-{a}^{2}-a-a\sqrt{{a}^{2}-2a+1}}{3}$=$\frac{-{a}^{2}-a-a（1-a）}{3}$=-$\frac{2}{3}$a，
x₂=$\frac{-{a}^{2}-a+a\sqrt{{a}^{2}-a+1}}{3}$＞$\frac{-{a}^{2}-a+a\sqrt{{a}^{2}-2a+1}}{3}$=$\frac{-{a}^{2}-a+a（1-a）}{3}$=-$\frac{2}{3}$a²，
則正根必小于-$\frac{2}{3}$a，負(fù)根必大于-$\frac{2}{3}$a²．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了分式方程的解，一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)得關(guān)系，以及不等式的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．