Question

13．已知點P是拋物線y=x²上一點，過點M（0，2）作半徑為$\sqrt{2}$的⊙M，
（1）過點P作⊙M的兩條切線l₁、l₂，若l₁⊥l₂，求點P的坐標(biāo)；
（2）若過點Q（2，4）的直線l與拋物線y=x²只有一個公共點時，求出點M與直線的距離．

Answer 1

分析 （1）易證點P、M和兩個切點組成的四邊形是正方形，從而PM=2，設(shè)P坐標(biāo)為（t，t²），則t²+（t²-2）²=2²，求出t的值即可，進(jìn)而得到點P的坐標(biāo)；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論，①若直線l平行與y軸，②若直線l不平行與y軸，設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，根據(jù)直線l與拋物線y=x²只有一個公共點求出k的值，進(jìn)而根據(jù)點到直線的距離公式求出點M與直線的距離．

解答 解：（1）設(shè)兩個切點分別為A、B，
如圖所示：

∵M(jìn)A⊥AP，MB⊥PB，且l₁⊥l₂，
∴四邊形APBM是正方形，
∵AM=$\sqrt{2}$，
∴PM=$\sqrt{A{M}^{2}+A{P}^{2}}$=2，
設(shè)設(shè)P坐標(biāo)為（t，t²），則t²+（t²-2）²=2²，
解得t=0或t=$±\sqrt{3}$，
∴點P的坐標(biāo)為（0，0）、（$\sqrt{3}，3$）、（$-\sqrt{3}，3$）；
（2）①若直線l平行與y軸，直線l即x=2，此時點M與直線l的距離為2；
②若直線l不平行與y軸，
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，
∵直線l過（2，4）點，
∴4=2k+b，
∴b=4-2k，
∴直線l解析式為y=kx+4-2k，
∵直線l與拋物線y=x²只有一個公共點，
∴kx+4-2k=x²只有一個根，
∴k²-8k+16=0，
∴k=4，
∴直線l解析式為y=4x-4，
∴點M（0，2）與直線l的距離d=$\frac{|-2-4|}{\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{{6\sqrt{17}}}{17}$．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題的知識，解答本題的關(guān)鍵是求出PM的長為2，解答（2）問時注意垂直于x軸的直線不能漏解，此題難度一般．