Question

5．已知在△ABC中，滿足∠ACB=2∠B，
（1）如圖1，當∠C=90°，AD為∠BAC的角平分線時，在AB上取一點E使得AE=AC，連接DE，求證：AB=AC+CD．
（2）如圖2，當∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請你證明；若不成立，請說明理由．
（3）如圖3，當AD為△ABC的外角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明．
 

Answer 1

分析 （1）由AD為∠BAC的角平分線，得到∠EAD=∠CAD，通過△AED≌△ACD，得到ED=CD，∠AED=∠ACD=90°，由于∠ACB=90°，∠ACB=2∠B，得到∠B=45°，∠BDE=45°，∠B=∠BDE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EB=ED，于是得到結(jié)論；
（2）如圖2，在AB上截取AE=AC，連接ED，由AD為∠BAC的角平分線時，得到∠BAD=∠CAD，通過△AED≌△ACD得到∠AED=∠C，ED=CD，由已知得到∠B=∠EDB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EB=ED，即可得解；
（3）如圖3，在BA的延長線上截取AE=AC，連接ED，由AD為∠BAC的角平分線時，得到∠BAD=∠CAD，通過△AED≌△ACD得到∠AED=∠C，ED=CD，由已知得到∠B=∠EDB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EB=ED，即可得解．

解答 證明：（1）∵AD為∠BAC的角平分線
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED與△ACD中，
$\left\{{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}}\right.$，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠AED=∠ACD=90°，
又∵∠ACB=90°，∠ACB=2∠B，
∴∠B=45°，
∴∠BDE=45°，
∴∠B=∠BDE，
∴EB=ED，
∴EB=CD，
∴AB=AE+EB=AC+CD；            

（2）結(jié)論：還成立．
理由：如圖2，在AB上截取AE=AC，連接ED，
∵AD為∠BAC的角平分線時，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AED與△ACD中，
$\left\{{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}}\right.$，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠AED=∠C，ED=CD，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴EB=ED，
∴EB=CD，
∴AB=AE+EB=AC+CD；

（3）猜想：AB+AC=CD．
證明：如圖，在BA的延長線上截取AE=AC，連接ED．
∵AD平分∠FAC，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED與△ACD中，
$\left\{{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}}\right.$，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠AED=∠ACD，
∴∠FED=∠ACB，
又∵∠ACB=2∠B，
∴∠FED=2∠B，
又∵∠FED=∠B+∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴EB=ED，
∴EA+AB=EB=ED=CD，
∴AC+AB=CD．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．