Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²+bx+c與y軸交于點(diǎn)A（0，3），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，-2），點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C，連結(jié)OB．

（1）求二次函數(shù)的解析式，并求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）把△AOB以每秒1個(gè)單位的速度向右平移，得到△PDE，PE交OB于點(diǎn)F，PD交BC于點(diǎn)M，設(shè)向右平移運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．設(shè)平移過(guò)程中與△OBC重疊部分的面積為S，試探求S 與t的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)t為何值時(shí)，S最大？
（3）在（2）的條件下，是否存在某一時(shí)刻t，使△OCE為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)（0，3）和（5，-2）代入即可求出b、c的值，進(jìn)而得解，再由點(diǎn)A與點(diǎn)B對(duì)稱可以求出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3，進(jìn)而得解；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)，以及垂直等條件，可以判斷四邊形EPCB是矩形，△BEF≌△PCM，進(jìn)而可以用含有t的式子表示出四邊形BFPM的面積，利用配方法可以得解；
（3）從OE=OC，EC=OC，OE=EC三個(gè)方面進(jìn)行解答，即可得到本題的答案．

解答 解：（1）將點(diǎn)（0，3）和（5，-2）代入y=-x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{-25+5b+c=-2}\end{array}\right.$，
解得：b=4，c=3，
∴y=-x²+4x+3，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴3=-x²+4x+3，
解得：x=0或x=4，
∴B（4，3）；
（2）由平移的性質(zhì)可知，BO∥BD，OA∥PE，
∵OA⊥x軸，BC⊥x軸，∴EP⊥x軸，
又AB∥OC，∴∠EPC=∠BCP=∠BEP=∠EBC=90°，
∴四邊形EPCB是矩形，
∴BE=PC，
∠ABO=∠BOC，∠BOC=∠MPC，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CP}\\{∠BEP=∠BCP}\\{∠ABO=∠MPC}\end{array}\right.$
∴△BEF≌△PCM（ASA），
當(dāng)△AOB向右平移運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）時(shí)，
BE=4-t，EP=3，AE=t，
∴四邊形EPCB的面積為：3（4-t），
設(shè)直線OB的解析式為y=kx，將點(diǎn)B（4，3）代入得：
3=4k，
解得：k=$\frac{3}{4}$，
∴y=$\frac{3}{4}$x，
∴F（t，$\frac{3}{4}$t），
∴S_△BEF=S_△PCM=$\frac{1}{2}$（4-t）（3-$\frac{3}{4}$t），
四邊形BFPM的面積為：
S=3（4-t）-（4-t）（3-$\frac{3}{4}$t）=$-\frac{3}{4}{t}^{2}+3t$
=$-\frac{3}{4}$（t-2）²+3，（0≤t≤4），
當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值，最大值是3；
（3）①當(dāng)OE=EC時(shí)，AE=OP=$\frac{1}{2}$OC=2，
②當(dāng)OE=OC=4時(shí)，AE²+OA²=OE²=OC²，即：t²+9=16，
解得：t=$\sqrt{7}$或t=$-\sqrt{7}$（舍）；
③當(dāng)EC=OC=4時(shí)，
BE²+BC²=EC²，即：（4-t）²+9=16，
解得：t=4+$\sqrt{7}$（舍）或t=4-$\sqrt{7}$，
∴t=2或t=$\sqrt{7}$或t=4-$\sqrt{7}$，
則E點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，3）或（$\sqrt{7}$，3）或（4-$\sqrt{7}$，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，以及平移的性質(zhì)，三角形全等、三角形面積的求法等知識(shí)點(diǎn)，是移動(dòng)綜合性很強(qiáng)的題目，有一定的難度，要注意認(rèn)真總結(jié)．