Question

17．△ABC中，AB=AC，在△ABC內(nèi)求作一點O，使點O到三邊的距離相等．
甲同學的作法是（1）以B為圓心，以任意長為半徑作弧分別交AB、BC于E，D，再分別以E，D為圓心，大于$\frac{1}{2}$ED的長為半徑作弧，兩弧交于點F，作射線BF；（2）分別以B，C為圓心，以大于$\frac{1}{2}$BC的長為半徑作弧，兩弧交于點G，H，作直線GH，直線GH與射線BF交于O．點O即為所求的點．（作圖痕跡如圖1）
乙同學的作法是：（1）以B為圓心，以任意長為半徑作弧分別交AB，BC于D，E，再分別以D，E為圓心，以大于$\frac{1}{2}$DE的長為半徑作弧，兩弧交于F，作射線BF；（2）以C為圓心，以任意長為半徑作弧分別交AC，BC于H，G再分別以G，H為圓心，以大于$\frac{1}{2}$GH的長為半徑作弧，兩弧交于點M，作射線CM，射線CM與射線BF交于點O．
點O即為所求的點（作圖痕跡如圖2），對于兩人的作法，下列說法正確的是（　�。�

• A． 兩人都對
• B． 兩人都不對
• C． 甲對，乙不對
• D． 乙對，甲不對

Answer 1

分析 對于甲同學的作法：連結(jié)OC，如圖1，根據(jù)作圖得到BF平分∠ABC，由GH垂直平分BC得到OB=OC，則∠OBC=∠OCB，所以∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，可判斷OC平分∠ACB，然后根據(jù)三角形內(nèi)心的定義可對甲同學的作法進行判斷；對于乙同學的作法：根據(jù)基本作圖得到BF平分∠ABC，CM平分∠ACB，然后根據(jù)三角形內(nèi)心的定義得到點O為△ABC的內(nèi)心，于是可對乙同學的作法進行判斷．

解答 解：對于甲同學的作法：連結(jié)OC，如圖1，BF平分∠ABC，GH垂直平分BC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵GH垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
而∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴OC平分∠ACB，
∴點O即為所求的點；所以甲同學的作法正確；
對于乙同學的作法：BF平分∠ABC，CM平分∠ACB，則點O為△ABC兩內(nèi)角的角平分線，所以點O即為所求的點；所以乙同學的作法正確．
故選A．

點評 本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了三角形內(nèi)心．