Question

10．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，對角線AC，BD交于點E，點O在線段AE上，⊙O過B，D兩點，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=$\frac{3}{5}$．求證：CB是⊙O的切線．

Answer 1

分析 連接OD，可得OB=OD，由AB=AD，得到AE垂直平分BD，在直角三角形BOE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出OE的長，根據(jù)勾股定理求出BE的長，由OC-OE求出CE的長，再利用勾股定理求出BC的長，利用勾股定理逆定理判斷得到BC與OB垂直，即可確定出BC為圓O的切線．

解答 證明：連接OD，可得OB=OD，
∵AB=AD，
∴AE垂直平分BD，
在Rt△BOE中，OB=3，cos∠BOE=$\frac{3}{5}$，
∴OE=$\frac{9}{5}$，
根據(jù)勾股定理得：BE=$\sqrt{B{O}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{12}{5}$，CE=OC-OE=$\frac{16}{5}$，
在Rt△CEB中，BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=4，
∵OB=3，BC=4，OC=5，
∴OB²+BC²=OC²，
∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，
則BC為圓O的切線．

點評 此題考查了切線的判定，勾股定理及逆定理，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．