Question

3．如圖1在平面直角坐標(biāo)系中，A（-4，0），B（4，6），AB交y軸于點(diǎn)C，連結(jié)OB．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖2，將線段AC平移至第四象限得到MN，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)N（m，-12），延長(zhǎng)NM交y軸于P，用m表示P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如圖3，在y軸正半軸上有一點(diǎn)E（0，4），y軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)F，連接AE、AF，在AE、AF處放置兩面相交的平面鏡L₁、L₂，平面鏡L₂的位置隨著F點(diǎn)位置的改變而改變．是否存在點(diǎn)F使得任何射到平面鏡L₁、L₂上的光線m經(jīng)過(guò)平面鏡L₁、L₂的兩次反射后，入射光線m與反射光線n總是平行的？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（說(shuō)明：平面鏡反射光線的規(guī)律是：入射光線和反射光線與平面鏡所夾的角相等）

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A與B坐標(biāo)代入求出k與b的值，確定出解析式，即可求出C的坐標(biāo)；
（2）由平移的性質(zhì)得到直線MN與直線AC斜率相等，表示出MN方程，令x=0表示出y的值，即可表示出P坐標(biāo)；
（3）根據(jù)已知條件得出∠EAF=90°，然后求得直線AE的解析式，根據(jù)直線AE的解析式可求得直線AF的解析式，從而求得F的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{4k+b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{3}{4}$x++3，
令x=0，則y=3，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）；
（2）如圖2，∵將線段AC平移至第四象限得到MN，
∴設(shè)直線MN的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+n，
∵點(diǎn)N（m，-12），
∴-12=$\frac{3}{4}$m+n，
∴n=-12-$\frac{3}{4}$m，
∵直線MN的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+n與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-12-$\frac{3}{4}$m）．
（3）如圖3，∵入射光線m與反射光線n總是平行，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠3+∠4+∠5+∠6=180°，
∵∠3=∠4，∠5=∠6，
∴∠3+∠5=90°，
∴∠EAF=90°，
∵A（-4，0），E（0.4），
∴直線AE的解析式為y=x+4，
∴設(shè)直線AF的解析式為y=-x+a，
∵A（-4，0），
∴4+a=0，
∴a=-4，
∴F（0，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，兩條直線垂直的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等，熟練掌握平行線的性質(zhì)和直線垂直的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．