Question

12．已知函數(shù)y=mx²-6x+1（m是常數(shù)）．
（1）當(dāng)該函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍．并求m為最大整數(shù)時(shí)，方程mx²-6x+1=0（m是常數(shù)）的兩根；
（2）若該函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，則關(guān)于x的一元二次方程mx²-6x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)根的判別式求出m的取值范圍；再解方程即可求出方程的兩根；
（2）分m=0和m≠0兩種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）∵已知函數(shù)y=mx²-6x+1（m是常數(shù)），當(dāng)該函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，
∴令y=mx²-6x+1=0，
∴關(guān)于x的一元二次方程mx²-6x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=36-4m＞0且m≠0，即m＜9且m≠0，
∴m的最大整數(shù)為8，則方程為8x²-6x+1=0，
∴解方程得x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{1}{4}$；
（2）當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)y=-6x+1，一次函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)m≠0時(shí)，
∵該函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴令y=mx²-6x+1=0，由（1）可知△=36-4m，
∴36-4m=0，即m=9，
綜上m的值為0或9．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)以及二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系．