Question

6．已知，在直角坐標系內點A（-5，$\frac{15}{8}$），點B（-2，3），點C（0，3），拋物線C₁：y=a（x+3）²+k經過點A，點B
（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）如圖2，試問在拋物線C₁上是否存在點P（不與點B重合），使得S_△AOB=S_△AOP？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請經過計算說明理由；
（3）2如圖，將拋物線C₁向右平移6個單位得到拋物線C₂，此時點B平移到點D，拋物線C₂的對稱軸與直線OD交于點M，點Q為拋物線C₂對稱軸上一動點，以Q，O，M為頂點的三角形與△OCD相似，求符合條件的點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）將點A、點B的坐標代入拋物線C₁解析式，求得a與k的值即可求得其解析式；（2）在拋物線C₁上找出與點B到直線OA的距離相等的點即可；（3）根據相似三角形的判定：兩組對應邊的比值相等且夾角也相等的兩三角形相似，或：平行于三角形一邊的直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的三角形與原三角形相似，求得相應的點Q的坐標即可．

解答 解：（1）∵拋物線過點A（-5，$\frac{15}{8}$）和點B（-2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a（-5+3）^{2}+k=\frac{15}{8}}\\{a（-2+3）^{2}+k=3}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{8}}\\{k=\frac{27}{8}}\end{array}\right.$
∴拋物線C₁的解析式為y=-$\frac{3}{8}（x+3）^{2}+\frac{27}{8}$
（2）直線OA：y=-$\frac{3}{8}$x，則過B平行于OA的直線BE：y=-$\frac{3}{8}x+\frac{9}{4}$，
設拋物線C₁與直線BE交于點P（x，y），
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{8}{x}^{2}-\frac{9}{4}x}\\{y=-\frac{3}{8}x+\frac{9}{4}}\end{array}\right.$
解得 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$（舍去）$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3}\\{{y}_{2}=\frac{27}{8}}\end{array}\right.$
∴${P}_{1}（-3，\frac{27}{8}）$．
直線BE交y軸于點E，則E關于x軸的對稱點為F$（0，\frac{9}{4}）$，
∴過F平行于OA的直線MF：y=-$\frac{3}{8}x-\frac{9}{4}$，
設拋物線C₁與直線MF交于點P（x，y），
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{8}{x}^{2}-\frac{9}{4}x}\\{y=-\frac{3}{8}x-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-6}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=-\frac{21}{8}}\end{array}\right.$．
∴P₂（-6，0），${P}_{3}（1，-\frac{21}{8}）$．
（3）拋物線C₁向右平移6個單位后所得拋物線C₂：y=-$\frac{3}{8}（x-3）^{2}+\frac{27}{8}$，
點B平移后得點D（4，3），
∵C（0，3），D（4，3），
∴CD∥x軸．
拋物線C₂的對稱軸為：直線x=3交x軸于Q₁（3，0）．
過O垂直于OM的直線交對稱軸于Q₂，
則有$O{{Q}_{1}}^{2}=M{Q}_{1}•{Q}_{1}{Q}_{2}$，
直線OD：y=$\frac{3}{4}x$交對稱軸于M（3，$\frac{9}{4}$），
∴Q₂（3，-4）
綜上所述，滿足要求的點Q的坐標為（3，0）或（3，-4）．

點評 此題考查了垂徑定理、用待定系數法求函數解析式和函數交點坐標與方程組的解的關系，（3）是結論開放性題目，需要進行探索，解題時要分析滿足條件的不同情況，不可漏解．