Question

20．在平面直角坐標(biāo)系中，有一點B（a，b）的橫縱坐標(biāo)滿足條件：|2a-24|+（a-b-7）²=0．

（1）求點B的坐標(biāo)．
（2）如圖1，過點B作BA⊥x軸于A，BC⊥y軸于C，P為CB延長線上一點，OP交BA于E，若S_△OAE-S_△BPE=18，求P、E兩點坐標(biāo)．
（3）M為（2）中BC上一點，如圖2，且OM⊥AM，Q為CM上一動點，F(xiàn)為OQ上一動點，∠FAO=∠COQ，ON、AN分別平分∠QOM與∠FAM，當(dāng)Q點運動時，∠N變化嗎？若不變，求其值；若變化，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得2a-24=0，a-b-7=0，解方程組求出a和b即可得到點B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)P（m，5），E（12，n），根據(jù)平行線分線段成比例得$\frac{m-12}{12}$=$\frac{5-n}{n}$，解得n=$\frac{60}{m}$，則E（12，$\frac{60}{m}$），再利用三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•12•$\frac{60}{m}$-$\frac{1}{2}$•（5-$\frac{60}{m}$）•（m-12）=18，解得m=$\frac{84}{5}$，則n=$\frac{25}{7}$，所以P（$\frac{84}{5}$，5），E（12，$\frac{25}{7}$）；
（3）如圖2，由∠FAO=∠COQ可得∠AOF+∠AOF=90°，則∠AFO=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠QOM=∠MAF，再利用角平分線定義得∠NOM=$\frac{1}{2}$∠QOM，∠MAN=$\frac{1}{2}$∠MAF，所以∠NOM=∠MAN，然后再利用三角形內(nèi)角和易得∠N=∠AMO=90°．

解答 解：（1）∵|2a-24|+（a-b-7）²=0，
∴2a-24=0，a-b-7=0，
∴a=12，b=5，
∴點B的坐標(biāo)為（12，5）；
（2）設(shè)P（m，5），E（12，n），則PB=m-12，BE=5-n，
∵PB∥OA，
∴$\frac{PB}{OA}$=$\frac{BE}{AE}$，即$\frac{m-12}{12}$=$\frac{5-n}{n}$，
∴n=$\frac{60}{m}$，
∴E（12，$\frac{60}{m}$），
∵S_△OAE-S_△BPE=18，
∴$\frac{1}{2}$•12•$\frac{60}{m}$-$\frac{1}{2}$•（5-$\frac{60}{m}$）•（m-12）=18，解得m=$\frac{84}{5}$，
∴n=$\frac{25}{7}$，
∴P（$\frac{84}{5}$，5），E（12，$\frac{25}{7}$）；
（3）∠N不變化．
如圖2，
∵∠FAO=∠COQ，∠AOF+∠COQ=90°，
∴∠AOF+∠AOF=90°，
∴∠AFO=90°，
∵∠AMO=90°，∠1=∠2，
∴∠QOM=∠MAF，
∵ON、AN分別平分∠QOM與∠FAM，
∴∠NOM=$\frac{1}{2}$∠QOM，∠MAN=$\frac{1}{2}$∠MAF，
∴∠NOM=∠MAN，
∵∠3=∠4，
∴∠N=∠AMO=90°，
即∠N不變化．

點評 本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)：利用點的坐標(biāo)計算相應(yīng)線段的長和判斷線段與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系．也考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和三角形面積公式．