Question

10．如圖，四邊形ABCD的面積為1，順次連結(jié)ABCD各邊中點得到四邊形A₁B₁C₁D₁，再順次連結(jié)各邊中點得到四邊形A₂B₂C₂D₂；重復(fù)同樣的方法直到得到四邊形A_nB_nC_nD_n，則四邊形A_nB_nC_nD_n的面積為$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 連接對角線，運用三角形中位線定理可得$\frac{B{A}_{1}}{BA}$=$\frac{B{B}_{1}}{BC}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{AC}$=$\frac{1}{2}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得S_△BB1AI=$\frac{1}{4}$S_△BCA，同理可得S_△DD1C1=$\frac{1}{4}$S_△DAC，即S_△BB1AI+S_△DD1C1=$\frac{1}{4}$（S_△DAC+S_△BCA）=$\frac{1}{4}$S_{四邊形ABCD}，進而可得答案．

解答 解：連接AC，BD．
∵四邊形A₁B₁C₁D₁是順次連接各中點得到的，
∴$\frac{B{A}_{1}}{BA}$=$\frac{B{B}_{1}}{BC}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
故△BB₁A_I∽△BCA，相似比為$\frac{1}{2}$，面積比為$\frac{1}{4}$，即S_△BB1AI=$\frac{1}{4}$S_△BCA，
同理可得S_△DD1C1=$\frac{1}{4}$S_△DAC，即S_△BB1AI+S_△DD1C1=$\frac{1}{4}$（S_△DAC+S_△BCA）=$\frac{1}{4}$S_{四邊形ABCD}，
同理可得S_△CC1B1+S_△AA1D1=$\frac{1}{4}$S_{四邊形ABCD}，故
S_△BB1AI+S_△DD1C1+S_△CC1B1+S_△AA1D1=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}，
則S_{四邊形A1B1C1D1}=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$，
同理可得第二個小四邊形的面積為$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$即$\frac{1}{{2}^{2}}$．
第三個面積為$\frac{1}{{2}^{3}}$，以此類推第n個四邊形的面積為$\frac{1}{{2}^{n}}$．
故答案為：$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點評 此題主要考查了中點四邊形，解答此題的關(guān)鍵是求出四邊形A₁B₁C₁D₁的面積，再依此類推求出第二，第三個四邊形的面積，找出規(guī)律，即可求得第n個四邊形的面積．