Question

20．己知拋物線y=ax²+bx+c過A（-1，0），B（3，0）C（0，3）
（1）求拋物線解析式，寫出對稱軸及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)并畫出函數(shù)圖象．
（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P使S_△PAB=6？若存在求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0），B（3，0）C（0，3）代入y=ax²+bx+c求出a=-1，b=2，c=3，即可求出二次函數(shù)的解析式，化成頂點(diǎn)式即可；
（2）根據(jù)三角形的面積公式求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入函數(shù)的解析式求出x即可．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（3，0）C（0，3）代入y=ax²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=2，c=3，
即二次函數(shù)的解析式為：y=-x²+2x+3，
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
拋物線的對稱軸是直線x=1，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，4），
函數(shù)的圖象為：；

（2）在拋物線上存在點(diǎn)P使S_△PAB=6，
設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為h，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=4，
∵S_△PAB=6，
∴$\frac{1}{2}$×4×|h|=6，
解得：h=±3，
把y=3代入y=-x²+2x+3得：-x²+2x+3=3，
解得：x=0或2，
把y=-3代入y=-x²+2x+3得：-x²+2x+3=-3，
解得：x=1+$\sqrt{7}$或1-$\sqrt{7}$，
所以P的坐標(biāo)為（0，3）或（2，3）或（1+$\sqrt{7}$，-3）（1-$\sqrt{7}$，-3）．

點(diǎn)評 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，函數(shù)的圖象，三角形的面積的應(yīng)用，能求出二次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．