Question

5．如圖，一次函數(shù)y=k₁x+b（k₁≠0）與反比例函數(shù)y=$\frac{k_2}{x}$（k₂≠0）的圖象交于點(diǎn)A（-1，2），B（m，-1）．
（1）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P（n，0）（n＞0），使△ABP為等腰三角形？若存在，求n的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；
（2）分三種情形討論①當(dāng)PA=PB時(shí)，可得（n+1）²+4=（n-2）²+1．②當(dāng)AP=AB時(shí)，可得2²+（n+1）²=（3$\sqrt{2}$）²．③當(dāng)BP=BA時(shí)，可得1²+（n-2）²=（3$\sqrt{2}$）²．分別解方程即可解決問(wèn)題；

解答 解：（1）把A（-1，2）代入y=$\frac{{k}_{2}}{x}$，得到k₂=-2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{2}{x}$．
∵B（m，-1）在Y=-$\frac{2}{x}$上，
∴m=2，
由題意$\left\{\begin{array}{l}{-{k}_{1}+b=2}\\{2{k}_{1}+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+1．

（2）∵A（-1，2），B（2，-1），
∴AB=3$\sqrt{2}$，
①當(dāng)PA=PB時(shí)，（n+1）²+4=（n-2）²+1，
∴n=0，
∵n＞0，
∴n=0不合題意舍棄．
②當(dāng)AP=AB時(shí)，2²+（n+1）²=（3$\sqrt{2}$）²，
∵n＞0，
∴n=-1+$\sqrt{14}$．
③當(dāng)BP=BA時(shí)，1²+（n-2）²=（3$\sqrt{2}$）²，
∵n＞0，
∴n=2+$\sqrt{17}$．
綜上所述，n=-1+$\sqrt{14}$或2+$\sqrt{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)綜合題．一次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用 分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．