Question

1．如圖①，已知一條直線過點（0，4），與拋物線y=$\frac{1}{4}$x²交于A，B兩點，其中點A的橫坐標(biāo)是-2．
（1）求這條直線的函數(shù)解析式及點B的坐標(biāo)．
（2）在x軸上是否存在點C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點C的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
（3）如圖②，過線段AB上一點P，作PM∥x軸，交拋物線于點M，點M在第一象限，點N（0，1），當(dāng)點M的橫坐標(biāo)為何值時，MN+3PM的值最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）首先求得點A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定直線的解析式，從而求得直線與拋物線的交點坐標(biāo)；
（2）如圖1，過點B作BG∥x軸，過點A作AG∥y軸，交點為G，然后分若∠BAC=90°，則AB²+AC²=BC²；若∠ACB=90°，則AB²=AC²+BC²；若∠ABC=90°，則AB²+BC²=AC²三種情況求得m的值，從而確定點C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M（a，$\frac{1}{4}$a²），如圖2，設(shè)MP與y軸交于點Q，首先在Rt△MQN中，由勾股定理得MN=$\frac{1}{4}$a²+1，然后根據(jù)點P與點M縱坐標(biāo)相同得到x=$\frac{{a}^{2}-16}{6}$，從而得到MN+3PM=-$\frac{1}{4}$a²+3a+9，確定二次函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）∵點A是直線與拋物線的交點，且橫坐標(biāo)為-2，
∴y=$\frac{1}{4}$×（-2）²=1，A點的坐標(biāo)為（-2，1），
設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
將（0，4），（-2，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線y=$\frac{3}{2}$x+4，
∵直線與拋物線相交，
∴$\frac{3}{2}$x+4=$\frac{1}{4}$x²，
解得：x=-2或x=8，
當(dāng)x=8時，y=16，
∴點B的坐標(biāo)為（8，16）；

（2）如圖1，連接AC，BC，

∵由A（-2，1），B（8，16）可求得AB²=325．
設(shè)點C（m，0），同理可得AC²=（m+2）²+1²=m²+4m+5，
BC²=（m-8）²+16²=m²-16m+320，
①若∠BAC=90°，則AB²+AC²=BC²，即325+m²+4m+5=m²-16m+320，
解得：m=-$\frac{1}{2}$；
②若∠ACB=90°，則AB²=AC²+BC²，即325=m²+4m+5+m²-16m+320，
解得：m=0或m=6；
③若∠ABC=90°，則AB²+BC²=AC²，即m²+4m+5=m²-16m+320+325，
解得：m=32；
∴點C的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，0），（0，0），（6，0），（32，0）

（3）設(shè)M（a，$\frac{1}{4}$a²），如圖2，設(shè)MP與y軸交于點Q，

在Rt△MQN中，由勾股定理得MN=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{4}{a}^{2}-1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$a²+1，
又∵點P與點M縱坐標(biāo)相同，
∴$\frac{3}{2}$x+4=$\frac{1}{4}$a²，
∴x=$\frac{{a}^{2}-16}{6}$，
∴點P的橫坐標(biāo)為$\frac{{a}^{2}-16}{6}$，
∴MP=a-$\frac{{a}^{2}-16}{6}$，
∴MN+3PM=$\frac{1}{4}$a²+1+3（a-$\frac{{a}^{2}-16}{6}$）=-$\frac{1}{4}$a²+3a+9，
∴當(dāng)a=-$\frac{3}{2×（-\frac{1}{4}）}$=6，
又∵2≤6≤8，
∴取到最大值18，
∴當(dāng)M的橫坐標(biāo)為6時，MN+3PM的長度的最大值是18．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．