Question

11．如圖，點(diǎn)C、D分別在扇形AOB的半徑OA、OB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且OA=3，AC=3$\sqrt{3}$-3，CD∥AB，并與弧AB相交于點(diǎn)M、N．
（1）求線(xiàn)段OD的長(zhǎng)；
（2）若sin∠C=$\frac{1}{2}$，求弦MN的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，求優(yōu)弧MEN的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)CD∥AB，OA=OB，推出∠C=∠D，根據(jù)等腰三角形的判定證得OD=OC即可；
（2）過(guò)O作OE⊥CD，連接OM，由垂徑定理可知ME=$\frac{1}{2}$MN，再根據(jù)tan∠C=$\frac{1}{2}$可求出OE的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出ME的長(zhǎng)，進(jìn)而求出答案；
（3）由（2）可得△OMN是等邊三角形，即∠MON=60°，由弧長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA
∵CD∥AB∴∠OAB=∠C，∠D=∠OBA
∴∠C=∠D，
∴OD=OC=OA+AC=3$\sqrt{3}$；

（2）過(guò)O作OE⊥CD，連接OM，則ME=$\frac{1}{2}$MN，
∵tan∠C=$\frac{1}{2}$，即$\frac{OE}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∴設(shè)OE=x，則CE=2x，
在Rt△OEC中，OC²=OE²+CE²，即（3$\sqrt{3}$）²=x²+（2x）²，解得x=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
在Rt△OME中，OM²=OE²+ME²，即3²=（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）²+ME²，解得ME=$\frac{3}{2}$，
∴由垂徑定理得MN=3；

（3）由（2）可得△OMN是等邊三角形，
∴∠MON=60°
∴優(yōu)弧MEN的長(zhǎng)度=$\frac{300π×3}{180}$=5π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理和弧長(zhǎng)公式，涉及到銳角三角函數(shù)的定義、等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線(xiàn)的性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)是解答此題的關(guān)鍵．