Question

10．如圖①，△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，將△EFD繞點A順時針旋轉，當DF邊與AB邊重合時，旋轉終止，不考慮旋轉開始和結合時重合的情況，設DE、DF（或它們的延長線）分別交BC（或它們的延長線）于G、H點，如圖②．
（1）問：始終與△AGC相似的三角形有△HGA和△HAB；
（2）問：當CG為何值時，△AGH是等腰三角形？
（3）當∠GAC=15°時，BH=$\frac{27\sqrt{2}+9\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質與三角形外角的性質，易得∠GAC=∠H，然后由公共角相等，即可得△AGC∽△HGA；由∠B=∠ACG=45°，即可得△AGC∽△HAB；
（2）此題要采用分類討論的思想，當CG＜$\frac{1}{2}$BC時，當CG=$\frac{1}{2}$BC時，當CG＞$\frac{1}{2}$BC時分別得出即可；
（3）作AP⊥BC，運用三角函數(shù)和勾股定理求出CG，然后根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，列出BH和CG的關系式；

解答 解：（1）有△HGA和△HAB，
理由是：如圖1，∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
△DEF中，∠DEF=90°，DE=EF
∴∠B=∠ACB=∠EDF=45°，
∴∠H+∠CAH=∠ACB=45°，∠GAC+∠CAH=∠EDF=45°，
∴∠H=∠GAC，∠EDF=∠ACB=∠B=45°，
∴△始終與△AGC相似的三角形有△HGA和△HAB，
故答案為：△HGA和△HAB；
（2）①當CG＜$\frac{1}{2}$BC時，∠GAC=∠H＜∠HAC，
∴AC＜CH，
∵AG＜AC，
∴AG＜CH＜GH，
又∵AH＞AG，AH＞GH，
此時，△AGH不可能是等腰三角形，
②當CG=$\frac{1}{2}$BC時，G為BC的中點，H與C重合，△AGH是等腰三角形，
此時，GC=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，即x=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
③當CG＞$\frac{1}{2}$BC時，由（1）△AGC∽△HGA，
∴，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在GH=AH，若GH=AH，則AC=CG，此時x=9，
如圖2，當CG=BC時，
注意：DF才旋轉到與BC垂直的位置，
此時B，E，G重合，∠AGH=∠GAH=45°，
∴△AGH為等腰三角形，所以CG=9$\sqrt{2}$．
綜上所述，當x=9或x=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$或9$\sqrt{2}$時，△AGH是等腰三角形．
（3）$\frac{{27\sqrt{2}+9\sqrt{6}}}{2}$
如圖2，作AP⊥BC，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=9，
∴AP=PC=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
又∵∠GAC=15°，∠ACB=45°，
∴∠AGP=60°，
∴PG=$\frac{AP}{tan60°}$=$\frac{\frac{9\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∴CG=PC-PG=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$-$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∵△AGC∽△HAB，
∴$\frac{CG}{AB}=\frac{AC}{BH}$
∴$\frac{\frac{9\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{6}}{2}}{9}=\frac{9}{BH}$，
解得：BH=$\frac{27\sqrt{2}+9\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：$\frac{27\sqrt{2}+9\sqrt{6}}{2}$．

點評 此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，等腰直角三角形的性質，旋轉的性質等知識點的理解和掌握，綜合性較強，難易程度適中，是一道很典型的題目．