Question

5．?dāng)?shù)學(xué)活動--求重疊部分的面積．
問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點D與邊AB的中點重合，DE經(jīng)過點C，DF交AC于點C．求重疊部分（△DCG）的面積．
（1）獨立思考：請解答老師提出的問題．
（2）合作交流：“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點H，DF交AC于點G，如圖2，求出重疊部分（△DGH）的面積，請寫出解答過程．
（3）提出問題：老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí)，將△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，再提出一個求重疊部分面積的問題．“愛心”小組提出的問題是：如圖3，將△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點M，N，使DM=MN，求重疊部分（△DMN）的面積．任務(wù)：請解決“愛心”小組所提出的問題，直接寫出△DMN的面積是$\frac{75}{16}$．

Answer 1

分析 （1）確定點G為AC的中點，從而△ADC為等腰三角形，其底邊AC=8，底邊上的高GD=$\frac{1}{2}$BC=3，從而面積可求；
（2）本問解法有多種，解答中提供了三種不同的解法．基本思路是利用相似三角形、勾股定理求解；
（3）對于愛心小組提出的問題，如答圖4所示，作輔助線，利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，列方程求解．

解答 解：（1）【獨立思考】
∵∠ACB=90°，D是AB的中點，
∴DC=DA=DB，
∴∠B=∠DCB．
又∵△ABC≌△FDE，
∴∠FDE=∠B．
∴∠FDE=∠DCB，
∴DG∥BC．
∴∠AGD=∠ACB=90°，
∴DG⊥AC．
又∵DC=DA，
∴G是AC的中點，
∴CG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4，DG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴S_△DGC=$\frac{1}{2}$CG•DG=$\frac{1}{2}$×4×3=6．
（2）【合作交流】如下圖所示：
∵△ABC≌△FDE，
∴∠B=∠1．
∵∠C=90°，ED⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，
∴∠B=∠2，
∴∠1=∠2，
∴GH=GD．
∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠A=∠3，
∴AG=GD，
∴AG=GH，即點G為AH的中點．
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2+}{6}^{2}}$=10，
∵D是AB中點，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=5．
在△ADH與△ACB中，
∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°，
∴△ADH∽△ACB，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{DH}{CB}$，即$\frac{5}{8}=\frac{DH}{6}$，解得DH=$\frac{15}{4}$，
∴S_△DGH=$\frac{1}{2}$S_△ADH=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×DH•AD=$\frac{1}{4}$×$\frac{15}{4}$×5=$\frac{75}{16}$．
（3）【提出問題】解決“愛心”小組提出的問題．
如答圖4，過點D作DK⊥AC于點K，則DK∥BC，
又∵點D為AB中點，
∴DK=$\frac{1}{2}$BC=3．
∵DM=MN，
∴∠MND=∠MDN，由（2）可知∠MDN=∠B，
∴∠MND=∠B，
又∵∠DKN=∠C=90°，
∴△DKN∽△ACB，
∴$\frac{KN}{BC}=\frac{DK}{AC}$，即$\frac{KN}{6}=\frac{3}{8}$，得KN=$\frac{9}{4}$．
設(shè)DM=MN=x，則MK=x-$\frac{9}{4}$．
在Rt△DMK中，由勾股定理得：MK²+DK²=MD²，
即：（x-$\frac{9}{4}$）²+3²=x²，解得x=$\frac{25}{8}$，
∴S_△DMN=$\frac{1}{2}$MN•DK=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{8}$×3═$\frac{75}{16}$．

點評 本題是幾何綜合題，考查了相似三角形、全等三角形、等腰三角形、勾股定理、圖形面積計算、解方程等知識點．題干信息量大，篇幅較長，需要認(rèn)真讀題，弄清題意與作答要求．試題以圖形旋轉(zhuǎn)為背景，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊圖形的形狀與面積不斷發(fā)生變化，需要靈活運用多種知識予以解決，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的研究與探索精神，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，是一道好題．