Question

1．如圖，在正方形ABCD中．點P是對角線AC上一個動點（不與點A，C重合），連接PB，過點P作PF⊥PB，交直線DC于點F．作PE⊥AC交直線DC于點E．連按AE，BF．
（1）由題意易知，△ADC≌△ABC．觀察圖，請猜想另外兩組全等的三角形△PEF≌△PCB；△ADE≌△BCF；
（2）求證：四邊形AEFB是平行四邊形；
（3）已知AB=2$\sqrt{2}$，△PFB的面積是否存在最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以證明△PEF≌△PCB，△ADE≌△BCF；
（2）由△PEF≌△PCB，推出EF=BC由AB=BC，推出AB=EF，由AB∥EF，推出四邊形AEFB是平行四邊形．
（3）首先證明△PBF是等腰直角三角形，注意PB最短時，△PBF的面積最小，只要求出PB的最小值即可．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=DC=BC，∠ACD=∠ACB=45°，
∵PE⊥AC，PB⊥PF，
∴∠EPC=∠BPF=90°，
∴∠EPF=∠CPB，∠PEB=∠PCE=45°，
∴PE=PC，
在△PEF和△PCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEF=∠BCP}\\{∠EPF=∠CPB}\\{PE=PC}\end{array}\right.$，
∴△PEF≌△PCB，
∴EF=BC=DC，
∴DE=CF，
在△ADE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠D=∠BCF=90°}\\{DE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCF，
故答案為PEF，PCB，ADE，BCF；

（2）證明：由（1）可知△PEF≌△PCB，
∴EF=BC，∵AB=BC，
∴AB=EF，∵AB∥EF，
∴四邊形AEFB是平行四邊形．

（3）解：存在．理由如下：
∵△PEF≌△PCB，
∴PF=PB，∵∠BPF=90°，
∴△PBF是等腰直角三角形，
∴PB最短時，△PBF的面積最小，
∴當PB⊥AC時，PB最短，此時PB=AB•cos45°=2，
∴△PBF的面積最小值為$\frac{1}{2}$×2×2=2．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考�？碱}型．