Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OBCD的邊OB在x軸正半軸上，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過該菱形對角線的交點(diǎn)A，且與邊BC交于點(diǎn)F，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，8）
（1）B點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0）；
（2）求反比例函數(shù)的解析式及點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線l過點(diǎn)C且分別交直線OD、OB于不同的P、Q兩點(diǎn)．
①若直線l⊥OC，如圖所示，請直接寫出$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{OQ}$的值；
②若l為滿足條件的任意直線，請?zhí)骄?\frac{1}{OP}$與$\frac{1}{OQ}$的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)即可得出OB=OD=10，從而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)B、D的坐標(biāo)結(jié)合菱形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出反比例函數(shù)解析式，根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)O、B、D即可找出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，聯(lián)立直線BC與反比例函數(shù)的解析式成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）①由PQ⊥OC，BD⊥OC，可得出PQ∥BD，進(jìn)而得出△OAD∽△OCP，△OAB∽△OCQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出OP、OQ的長，代入分式中即可得出結(jié)論；②同①可得出OP=2OM，OQ=2ON，再利用△ADE≌△ABN以及△MDE∽△MON即可得出BN=$\frac{5DM}{5+DM}$，進(jìn)而可得出分式$\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}$=$\frac{1}{5}$，由此即可得出$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{OQ}$=$\frac{1}{10}$．

解答 解：（1）∵四邊形OBCD為菱形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，8），OB在x軸正半軸上，
∴OB=OD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴B（10，0）．
故答案為：（10，0）．
（2）∵B（10，0），D（6，8），四邊形OBCD為菱形，
∴A（8，4），
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，
∴k=8×4=32，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{32}{x}$．
∵O（0，0），B（10，0），D（6，8），
∴C（16，8）．
設(shè)直線BC的解析式為y=ax+b，
將點(diǎn)B（10，0）、C（16，8）代入y=ax+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{10a+b=0}\\{16a+b=8}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{40}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{40}{3}$．
聯(lián)立直線BC與反比例函數(shù)解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x-\frac{40}{3}}\\{y=\frac{32}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=12}\\{y=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-16}\end{array}\right.$（舍去），
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（12，$\frac{8}{3}$）．
（3）①$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{OQ}$=$\frac{1}{10}$，理由如下：
∵PQ⊥OC，BD⊥OC，
∴PQ∥BD，
∴△OAD∽△OCP，△OAB∽△OCQ，
∴$\frac{OD}{OP}=\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{OB}{OQ}=\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∵OB=OD=10，
∴OP=OQ=20，
∴$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{OQ}$=$\frac{1}{10}$．
②$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{OQ}$=$\frac{1}{10}$，理由如下：
過點(diǎn)A作MN∥PQ，分別交OP、OQ于點(diǎn)M、N，令CD與MN的交點(diǎn)為點(diǎn)E，如圖所示．
∵PQ∥MN，
∴△OAM∽△OCP，△OAN∽△OCQ，
∴$\frac{OM}{OP}=\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{ON}{OQ}=\frac{OA}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴OP=2OM，OQ=2ON．
在△ADE和△ABN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠BAN}\\{AD=AB}\\{∠ADE=∠ABN}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ABN（ASA），
∴BN=DE．
∵DE∥ON，
∴△MDE∽△MON，
∴$\frac{DE}{ON}=\frac{BN}{ON}=\frac{DM}{OM}$，即$\frac{BN}{DM}=\frac{ON}{OM}=\frac{10-BN}{10+DM}$，
∴BN=$\frac{5DM}{5+DM}$．
∴$\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}$=$\frac{1}{10+DM}+\frac{1}{10-\frac{5DM}{5+DM}}$=$\frac{1}{10+DM}+\frac{5+DM}{50+5DM}$=$\frac{10+DM}{50+5DM}$=$\frac{1}{5}$．
∵OP=2OM，OQ=2ON，
∴$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{OQ}$=$\frac{1}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）求出OB=OD=10；（2）求出直線BC以及反比例函數(shù)解析式；（3）①找出OP=OQ=20；②求出$\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}$=$\frac{1}{5}$．本題屬于中檔題，（3）難度稍大，在解決該問時，利用相似三角形的性質(zhì)找出邊與邊之間的關(guān)系是關(guān)鍵．