Question

2．發(fā)現(xiàn)問題：
如圖（1），在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°．
我們可以進行以下計算：
由題意可知：∠B=30°，∠C=90°，
可得到：c=2b，a=$\sqrt{3}$b，
所以a²-b²=（$\sqrt{3}$b）²-b²=2b²=b•c．
即a²-b²=bc．
提出猜想：
（1）（驗證特殊三角形）如圖（2），請你參照上述研究方法，對等腰直角三角形進行驗證，判斷猜想是否正確，并寫出驗證過程；
已知：△ABC中，∠A=2∠B，∠A=90°
求證：a²-b²=bc．
（2）（驗證一般三角形）如圖（3），
已知：△ABC中，∠A=2∠B，
求證：a²-b²=bc．
結論應用：
若一個三角形的三邊長恰為三個連續(xù)偶數(shù)，且∠A=2∠B，請直接寫出這個三角形三邊的長，不必說明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出b=c，∠A=90°，由勾股定理得出a²=2b²，即可得出結論；
（2）作，∠A的平分線AD，則∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠A，由已知條件得出∠B=∠1=∠2，得出BD=AD，證明△ABC∽△DAC，得出對應邊成比例，得出BD=AD=$\frac{bc}{a}$，b²=a•CD，即可得出結論；
（3）設三角形的三邊長為2n-2，2n，2n+2，由（2）得出（2n+2）²-（2n-2）²=2n（2n-2），解方程求出n的值，即可得出結果．

解答 （1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴b=c，∠A=90°，
∴a²=b²+c²=2b²，
∴a²-b²=2b²-b²═b²=bc；
（2）證明：作，∠A的平分線AD，如圖所示：
則∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=2∠B，
∴∠B=∠1=∠2，
∴BD=AD，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴$\frac{c}{AD}=\frac{CD}=\frac{a}$，
∴BD=AD=$\frac{bc}{a}$，b²=a•CD，
∴a²-b²=a²-a•CD=a（a-CD）=a•BD=a′$\frac{bc}{a}$=bc；
（3）解：a=12，b=8，c=10；理由如下：
設三角形的三邊長為2n-2，2n，2n+2，
∵∠A=2∠B，
∴由（2）得：（2n+2）²-（2n-2）²=2n（2n-2），
解得：n=5，或n=0（舍去），
∴n=5，2n-2=8，2n=10，2n+2=12，
∴a=12，b=8，c=10．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理等知識；熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解決問題的關鍵．